2019/2020
Дополнительные главы алгебры
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
3, 4 модуль
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
72
Программа дисциплины
Аннотация
Курс включает в себя элементарное введение в коммутативную алгебру (вплоть до теорем Гильберта о базисе, об инвариантах и о нулях) и элементарное введение в некоммутативную алгебру (в основном теорему плотности и ее следствия в теории представлений конечных групп). Формат: лекция + семинар каждую неделю. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА: стандартный курс алгебры.).
Цель освоения дисциплины
- Продолжение стандартного трёхсеместрового курса алгебры, читаемого на факультете математики.
Планируемые результаты обучения
- В результате изучения дисциплины студент должен знать элементарное введение в коммутативную алгебру и элементарное введение в некоммутативную алгебру.
Содержание учебной дисциплины
- Кольца главных идеалов. Факториальные кольца. Поле частных. Лемма Гаусса. Признак Эйзенштейна.
- Результант и дискриминант. Теорема Безу для кривых.
- Модули над кольцами: определение и примеры. Теоремы Жордана–Гельдера и Крулля–Шмидта. Теорема о модулях над кольцами главных идеалов и ее приложения.
- Целые расширения колец. Целозамкнутость. Кольца целых алгебраических расширений. Целые алгебраические числа.
- Нетеровы кольца. Теорема Гильберта о базисе.
- Теорема Гильберта об инвариантах (для конечной группы). Теорема о симметрических многочленах.
- Теорема Гильберта о нулях.
- Алгебры над полем и модули над ними. Примеры. Лемма Шура.
- Полупростые алгебры. Теорема плотности и ее следствия. Структура полупростой алгебры над полем.
- Представления конечных групп. Теорема Машке. Ортогональность характеров.
- Индуцированные представления. Двойственность Фробениуса.
- Представления симметрической группы. Двойственность Шура–Вейля.
Элементы контроля
- Письменные контрольные работы
- Письменные домашние задания
- Коллоквиум
- Устный экзаменАльтернативным способом получения итоговой оценки 10 баллов является сдача всех задач из листка повышенной сложности (задачи сдаются устно лектору).
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (4 модуль)0.2 * Коллоквиум + 0.2 * Письменные домашние задания + 0.2 * Письменные контрольные работы + 0.4 * Устный экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Винберг Э.Б. - Курс алгебры - Московский центр непрерывного математического образования - 2013 - 590с. - ISBN: 978-5-4439-2013-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56396
Рекомендуемая дополнительная литература
- Городенцев А.Л. - Алгебра. Часть 1: учебник для студентов-математиков - Московский центр непрерывного математического образования - 2014 - 485с. - ISBN: 978-5-4439-2087-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56398