2019/2020
Введение в математический анализ
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Где читается:
Факультет компьютерных наук
Когда читается:
1, 2 модуль
Преподаватели:
Ронжина Мария Игоревна
Язык:
русский
Кредиты:
2
Контактные часы:
48
Программа дисциплины
Аннотация
Курс является вспомогательным к основному курсу математического анализа и предназначен для студентов первого курса, обучающихся по программе «Программная инженерия», а также для студентов любой другой программы, желающих посещать факультатив. В курсе рассматриваются следующие главы математического анализа: предел и непрерывность функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций одной переменной, применение производных к исследованию функций.
Цель освоения дисциплины
- Развитие математического кругозора студентов
- Обучение студентов важнейшим теоретическим положениям математического анализа, аналитическим методам
- Выработка у студентов навыков решения конкретных задач, требующих исследования функций и вычисления связанных с ними величин
Планируемые результаты обучения
- Знать точные формулировки основных понятий
- Уметь интерпретировать основные понятия на простых модельных примерах
- Уметь вычислять пределы, доказывать существование предела или его отсутствие
- Знать основные теоремы о пределах и непрерывности функций одной и нескольких переменных
- Знать основные понятия и теоремы дифференциального исчисления функций одной и нескольких переменных
- Уметь вычислять производные, частные производные и дифференциалы функций
- Владеть методами математического анализа
Содержание учебной дисциплины
- Числовые функции. Последовательности. Предел последовательности.Числовые последовательности. Примеры. Понятие предела последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. Теорема о вынужденном пределе. Теорема о сходимости монотонных ограниченных последовательностей. Определение числа е. Бесконечно малые последовательности. Связь со сходящимися последовательностями. Арифметические свойства бесконечно малых и сходящихся последовательностей. Бесконечно большие последовательности, их связь с бесконечно малыми. Арифметические свойства для последовательностей, имеющих конечные и бесконечные пределы. Неопределенности.
- Предел функции.Определение предела функции в точке в терминах окрестностей, неравенств (Коши) и последовательностей (Гейне). Теорема об эквивалентности этих определений. Односторонние пределы, их связь с двусторонними. Пределы функции в бесконечности. Арифметические свойства функций, имеющих пределы (конечные или бесконечные) в точке или в бесконечности. Неопределенности. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах, о вынужденном пределе. Теорема о пределе сложной функции. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение функций, о-символика.
- Непрерывность функции.Определения непрерывности функции в точке, их эквивалентность. Точки разрыва, их классификация. Непрерывность основных элементарных функций. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Теоремы о локальной ограниченности и локальном сохранении знака для функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса, теорема Коши). Критерий непрерывности монотонной функции на промежутке. Критерий существования и непрерывности обратной функции на промежутке.
- Производная. Формулы и правила вычисления производных. Дифференциал функции. Геометрический и физический смысл производной.Понятие производной функции в точке. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Правила дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной сложной функции. Теорема о дифференцируемости и производной обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производные функций, графики которых заданы параметрически. Понятие гладкой кривой, касательный вектор к гладкой кривой в точке. Понятие дифференциала (первого) функции в точке. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.
- Производные и дифференциалы высших порядков.Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке. Понятие об экстремумах функции одной переменной. Локальный экстремум. Необходимое условие для внутреннего локального экстремума (теорема Ферма).
- Теоремы о среднем для дифференцируемых функций. Правило Лопиталя.Основные теоремы о дифференцируемых функций на отрезке (теоремы Ролля, Лагранжа и Коши). Правило Лопиталя.
- Формула Тейлора.Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций одной переменной с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Формулы Тейлора-Маклорена для основных элементарных функций. Применения для приближенных вычислений.
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)0.3 * Работа на семинарах + 0.7 * Экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Краткий курс математического анализа. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Ряды: Учебник / Кудрявцев Л.Д., - 4-е изд. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2015. - 444 с.: ISBN 978-5-9221-1585-8
- Кудрявцев Л. Д. - КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 1 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 703с. - ISBN: 978-5-9916-3701-5 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-1-425369