Математические методы исследования периодических процессов

2019/2020

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Общеуниверситетский факультатив

Кто читает: Департамент прикладной математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Преподаватели: Романов Александр Владимирович

Язык: русский

Кредиты: 2

Контактные часы: 48

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящий курс имеет вводный характер и посвящён математическому описанию повторяющихся во времени процессов в природе и в разных сферах человеческой деятельности. Объектом внимания служат детерминированные динамические системы, главной целью – изучение их установившихся (при большом времени) периодических режимов. Рассматриваются динамические системы с непрерывным и дискретным временем, с конечным или бесконечным числом степеней свободы. Теоретические построения иллюстрируются примерами из областей естествознания и экономики. Для прохождения данного курса желательно знание основ теории дифференциальных уравнений и функционального анализа. В то же время, необходимые понятия соответствующих дисциплин включены в изложение.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление слушателей с основными понятиями и методами теории нелинейной динамики, в том числе методами исследования периодических режимов динамических систем.
Формирование общего взгляда на периодические процессы в окружающем мире, например: механические движения, в частности, движение планет и искусственных спутников; периодические реакции в химии и биохимии; периодические колебания численности конкурирующих видов в биологии; Кондратьевские циклы в экономике.

Планируемые результаты обучения

Слушатель должен знать: основные положения теории динамических систем с непрерывным и дискретным временем, конечномерных или распределённых; методы исследования периодических режимов таких систем.
Слушатель должен иметь навыки использования методов и моделей нелинейной динамики и их применения к решению прикладных задач.
Слушатель должен уметь: определять возможности применения положений и методов нелинейной динамики для постановки и решения конкретных прикладных задач; находить установившиеся периодические режимы и оценивать их периоды.

Содержание учебной дисциплины

Некоторые понятия функционального анализа и общей теории динамических систем.
1.1. Общие понятия о динамических системах в метрическом пространстве. 1.2. Линейные нормированные пространства, компактность и неподвижные точки отображений. Дифференцирование нелинейных отображений.
Конечномерные динамические системы с непрерывным временем. Системы нелинейных дифференциальных уравнений в ℝ^n.
2.1.Существование и ограниченность глобальных решений. Диссипативность. Функции Ляпунова. Аттракторы и глобальный аттрактор. 2.2. Стационарные состояния, методы нахождения и исследование на устойчивость. Критерий Рауса–Гурвица. 2.3. Циклы и предельные циклы, их устойчивость. Оценки периода цикла. 2.4. Методы нахождения циклов и устойчивых предельных циклов. Теорема о неподвижной точке и теория Пуанкаре–Бендиксона. Понятие о теории бифуркаций. 2.5. Инерциальные многообразия и редукция к динамической системе меньшей размерности. 2.6. Приближённое аналитическое нахождение циклов. 2.7. Периодические режимы в химии, биологии, физике и экономике. 2.8. Хаотические режимы, аттрактор Лоренца.
Динамические системы с дискретным временем в метрическом пространстве.
3.1. Стационарные состояния, методы нахождения и исследование устойчивости. 3.2. Циклы, их устойчивость и неустойчивость. 3.3. Дискретные динамические системы на . Порядок Шарковского. 3.4. Логистическое уравнение и хаотические режимы. 3.5. Примеры из биологии.
Динамические системы с непрерывным временем в линейных нормированных пространствах. Системы уравнений реакции-диффузии и реакции-диффузии с конвекцией.
4.1. Существование и ограниченность глобальных решений. Диссипативность. 4.2. Аттракторы, глобальный аттрактор. Стационарные состояния и циклы, их устойчивость и неустойчивость. 4.3. Инерциальные многообразия и конечномерная редукция системы при большом времени. 4.4. Нахождение стационарных состояний и циклов. Исследование на устойчивость. 4.5. Примеры из химии и биологии.

Элементы контроля

Экзамен
Форма экзамена - письменный. На экзамене проверяется: 1) знание студентом теоретических основ курса; 2) умение решать стандартные задачи курса.
Домашнее задание

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.5 * Домашнее задание + 0.5 * Экзамен

Программа дисциплины