• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2019/2020

Комплексный анализ

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Общеуниверситетский факультатив
Когда читается: 1-3 модуль
Язык: русский
Кредиты: 4
Контактные часы: 90

Программа дисциплины

Аннотация

Курс «Комплексный анализ» содержит базовые элементы теории функций одного комплексного переменного: комплексные числа, регулярные функции, аналитическое продолжение регулярных функций и др., а также разделы теории, часто применяющиеся в приложениях, такие как вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов, деформации контура в комплексной плоскости, специальные функции, асимптотические методы и др. Факультатив рассчитан на студентов 2-3 курсов, и будет полезен для изучения студентам НИУ ВШЭ любых специальностей, среди обязательных дисциплин которых отсутствует ТФКП (ФКН, МИЭМ).
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории функций комплексного переменного и ее приложений.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знать понятие голоморфной функции и ее свойств
  • Уметь вычислять интегралы различных типов с помощью теории вычетов
  • Знать свойства голоморфных функций, не имеющих аналогов в вещественном анализе
  • Уметь вычислять асимптотики функций
  • Уметь решать задачу Дирихле для уравнения Пуассона
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение в теорию функций комплексного переменного.
    Комплексные числа, расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Дифференцирование, условия Коши-Римана. Регулярность. Многозначные функции. Интегрирование. Интегральная теорема Коши, интегральная формула Коши. Функциональные и степенные ряды. Теорема Вейерштрасса, теоремы Абеля. Теорема единственности для регулярных функций. Ряд Лорана.
  • Теория вычетов и ее применение для вычисления определенных интегралов.
    Изолированные особые точки однозначного характера. Вычеты, вычисление интегралов с помощью теории вычетов. Лемма Жордана. Деформирование контура в комплексной плоскости.
  • Особенности регулярных функций
    Целые функции. Теорема Лиувилля, теоремы Сохоцкого и Пикара. Мероморфные функции. Теорема о представлении мероморфной функции рядом из элементарных дробей. Аналитическое продолжение, теорема о монодромии. Особые точки аналитических функций. Теорема Коши-Адамара. Лакунарные ряды и естественная граница.
  • Приложения ТФКП
    Теорема Руше, основная теорема алгебры. Принцип максимума модуля регулярной функции, принцип максимума гармонической функции. Задача Дирихле уравнения Лапласа. Интеграл Пуассона для круга. Асимптотические методы: перевала, Лапласа, стационарной фазы. Спецфункции: функция Эйри, Гамма-функция Эйлера.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашнее задание №1
  • неблокирующий Домашнее задание №2
  • неблокирующий Письменная контрольная работа
  • блокирует часть оценки/расчета Устный экзамен
    Устный экзамен по всей программе курса.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (3 модуль)
    0.15 * Домашнее задание №1 + 0.15 * Домашнее задание №2 + 0.25 * Письменная контрольная работа + 0.45 * Устный экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Теория функций комплексного переменного : учебник / Е.С. Половинкин. — М. : ИНФРА-М, 2018. — 254 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — www.dx.doi.org/10.12737/6014. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/945532

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Привалов И. И. - ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Учебник для вузов - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 402с. - ISBN: 978-5-534-01450-1 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/vvedenie-v-teoriyu-funkciy-kompleksnogo-peremennogo-444949