• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2019/2020

Научно-исследовательский семинар "Геометрия и динамика 2"

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 3, 4 модуль
Язык: русский
Кредиты: 3

Программа дисциплины

Аннотация

Семинар рассчитан на студентов 1-2 курса бакалавриата. Предполагается рассказать слушателям о понятиях, методах и результатах из различных разделов геометрии, динамики и смежных областей, при этом нередко соображения из одной области будут использоваться в работе с объектами другой природы.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Познакомиться с понятиями различных разделов динамики и геометрии, узнать о некоторых методах исследования динамических систем с привлечением геометрических соображений.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знание определений и основных свойств альфа- и омега-предельных множеств. Умение находить эти множества в конкретных простейших ситуациях, а также строить потоки с требуемым предельным поведением траекторий.
  • Знание понятия структурной устойчивости. Умение явно доказывать её в простейших случаях (диффеоморфизмы прямой). Умение применять теорему Андронова-Понтрягина для векторных полей на сфере.
  • Знание общего понятия метрической энтропии и методов его вычисления (порождающее разбиение). Умение вычислять энтропию для простейших классов систем (марковские цепи и др.)
  • Знание базовых свойств полиномиальной динамики в комплексной области. Умение проанализировать локальное поведение в окрестности неподвижной точки.
  • Знание определений перекладывания отрезков и индукции Рози. Знание базовых утверждений об основных свойствах типичного перекладывания.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Асимптотическое поведение траекторий и структурная устойчивость
    Альфа- и омега-предельные множества траектории векторного поля. Теория Пуанкаре-Бендиксона. Структурная устойчивость. Теорема Андронова-Понтрягина
  • Перекладывания отрезков
    Перекладывания отрезков. Индукция Рози как пример динамики в пространстве систем. Минимальность и строгая эргодичность.
  • Элементы комплексной динамики
    Полиномиальные отображения в комплексной области. Неподвижные точки и периодические орбиты: локальная теория. Множества Жюлиа и Фату. Пространство параметров и множество Мандельброта.
  • Энтропия динамических систем
    Понятие (метрической) энтропии динамической системы. Его свойства. Вычисление энтропии для некоторых систем (марковские цепи, гиперболический автоморфизм тора и др.)
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Проверочные работы на занятиях
  • неблокирующий Экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.3 * Проверочные работы на занятиях + 0.7 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Katok, A. B., & Hasselblatt, B. (2002). Handbook of Dynamical Systems (Vol. 1st ed). Amsterdam: North Holland. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=207259

Рекомендуемая дополнительная литература

  • - Ильяшенко Ю.С., Яковенко С.Ю. — Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Том 1 - Московский центр непрерывного математического образования - 2013 - ISBN: 978-5-4439-0230-2 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/71818