Алгебра и анализ II

2019/2020

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Санкт-Петербургская школа экономики и менеджмента

Когда читается: 1-4 модуль

Преподаватели: Гладкая Анна Владимировна

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 116

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс посвящён функциональному анализу в объёмах от основ метрических пространств до начал вариационного исчисления. Лекции и семинарские занятия нацелены на развитие у студента интуиции бесконечномерных пространств, а также – навыков обращения с негладкими функциями вещественной переменной. Цели и задачи учебных занятий Повторение и углубление знаний по традиционно трудным разделам элементарной математики. Обсуждение принципов математического мышления, различных методов решения задач и доказательства утверждений. Знакомство с некоторыми вопросами теории функций, теории множеств и теории приближений. Основной целью курса является формирование навыков построения грамотного математического рассуждения от формулировки задачи, разбиения ее на подзадачи и поиска необходимых для решения методов и подходов до формулировки и интерпретации полученных результатов. Наибольшее внимание в курсе уделяется самостоятельному поиску решений нестандартных задач на основании полученных теоретических знаний и дальнейшему обсуждению примененных методов.

Цель освоения дисциплины

формирование навыков построения грамотного математического рассуждения от формулировки задачи, разбиения ее на подзадачи и поиска необходимых для решения методов и подходов до формулировки и интерпретации полученных результатов

Планируемые результаты обучения

Владеет аппаратом меры Лебега, знает основные определения и теоремы, уверенно решает задачи на применение этой теории.
Владеет теорией метрических пространств, уверенно решает задачи на её применение.
Владеет понятием линейного нормированного пространства, умеет сравнивать нормы, использует сравнение норм для выяснения полноты пространств
Умеет исследовать функционалы на непрерывность, понимает роль нормы в ответе на вопрос о непрерывности функционала.
Исследует линейные операторы на непрерывность и компактность.
Использует теоретический аппарат функционального анализа для решения вариационных задач.
Знает понятия множества и операций над ними, мощности множества, внутренних, внешних и граничных точек множества, теоремы об объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств
Знает понятие целой и дробной части числа, уравнений и неравенств с ними, интерполяционного многочлена Лагранжа и теорему Эйлера
Знает свойства бинарных отношений на множестве и разбиение на классы эквивалентности
Демонстрирует знание понятия левого и правого отображения, решает уравнения, связанные с производной и первообразной
Знает разностный аналог формулы Лейбница, дискретную теорему Лиувилля, многочлены Фибоначчи, производящие функции и вычисление некоторых сумм
Демонстрирует знание понятий рядов Фурье, полиномов Бернштейна, Чебышева, сплайн-финкций

Содержание учебной дисциплины

Логика и элементы теории множеств.
Высказывания, кванторы и предикаты. Отрицание высказываний. Понятие множества и операции над множествами. Отображение одного множества в другое: область определения, область значений, график отображения. Образ элемента или подмножества области определения, прообраз элемента или множества из области значений. Композиция отображений. Мощность множества. Конечные и счетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Мощность подмножества счетного множества. Внутренние, внешние и граничные точки множества. Внутренность, внешность и граница множества. Изолированные и предельные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Теоремы об объединении и пересечении открытых и замкнутых множеств. Замыкание множества. Дополнения к открытым и замкнутым множествам.
Свойства элементов и множеств на числовой прямой
Целая и дробная часть числа. Уравнения и неравенства с ними. Рациональные и иррациональные числа. Простые и составные числа. Алгоритм Евклида. Непрерывные дроби. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Совершенные числа. Теорема Эйлера. Системы счисления.
Бинарные отношения
Свойства бинарных отношений на множестве. Отношение эквивалентности. Разбиение на классы эквивалентности. Отношение порядка.
Последовательности и ряды
Обратное отображение: левое и правое обратное отображение. Функциональные уравнения. Уравнения, связанные с производной и первообразной.
Последовательности и ряды
Конечные разности. Разностный аналог формулы Лейбница. Преобразование Абеля. Дискретная теорема Лиувилля. Рекуррентные последовательности. Многочлены Фибоначчи, Люка. Производящие функции. Многочлен Гаусса. Вычисление некоторых сумм.
Элементы теории аппроксимации
Ряды Фурье. Полиномы Бернштейна, Чебышева. Сплайн-функции.
Мера и интеграл Лебега
Абсолютно сходящиеся ряды. Сигма-алгебры. Порождающие множества, борелевская сигма-алгебра. Меры. Теоремы существования и единственности. Мера Лебега. Произведение мер. Измеримые функции. Интеграл Лебега. Теорема Фубини. Теоремы о перестановке пределов. Гладкая и полиномиальная аппроксимация.
Метрические пространства
Определения и примеры метрических пространств. Последовательности Коши, полнота. Сепарабельность. Теорема Бэра о категории. Принцип сжимающих отображений. Равномерная сходимость, лемма Арцела —Асколи
Линейные нормированные пространства
Норма в линейном пространстве. Сравнение норм. Полнота. Основные примеры банаховых пространств. Гильбертово пространство.
Функционалы в линейных пространствах
Сопряжённое пространство. Непрерывность функционала. Сходимость последовательности функционалов. Теорема Хана – Банаха, теорема Банаха – Алаоглу.
Линейные операторы
Непрерывность линейного отображения. Сходимость операторов. Компактные операторы. Компактность вложений. Обратимость, элементы спектральной теории.
Элементы вариационного исчисления
Основная лемма вариационного исчисления. Уравнения Эйлера – Лагранжа. Линейно-квадратичные функционалы. Гамма-сходимость.

Элементы контроля

Общие домашние задания
Индивидуальное домашнее задание
Экзамен
Экзамен проводится в письменной форме. Длительность экзамена – 80 минут. Экзамен проводится на платформе https://mail2.hse.ru. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие камеры (допустимо использование камеры мобильного телефона), подключение к сети «Интернет». Для участия в экзамене студент обязан: проверить электронную почту в момент начала экзамена. (Преподаватель рассылает экзаменационные задания по электронной почте.) Во время экзамена студентам запрещено: пользоваться сторонними источниками информации, помощью иных людей. Студент выполняет экзаменационные задания в письменной форме, фотографирует решения с помощью любой доступной ему камеры и отправляет преподавателю по электронной почте. Студент должен следить за тем, чтобы сфотографированные им решения были читаемы. (Рекомендуется использовать камеру мобильного телефона или цифрового фотоаппарата; студент должен заранее проверить работоспособность этой камеры.) Процедура пересдачи: осенью всё изменится.
Обязательные домашние задания
Необязательные задачи повышенного уровня
Аудиторное тестирование

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
Результирующая оценка составляется из баллов, полученных за выполнение обязательных домашних заданий (A), необязательных задач повышенного уровня (B), регулярных аудиторных тестирований (C) по следующей формуле: 10*(A+B+C)/(A+С).
Промежуточная аттестация (4 модуль)
На каждом семинарском занятии выдаётся письменное общее домашнее задание к следующему семинару. Задачи из этих заданий стоят определённое число баллов. Пусть N – суммарное число баллов за выданные домашние задания, а студент набрал за домашние задания M баллов. По результатам выполнения этих заданий студент получает в конце курса индивидуальное задание, также выполняемое дома. индивидуальное домашнее задание, которое тем больше, чем больше 1-M/N; индивидуальное задание перекрывает те темы, которые не были решены при накоплении балла M. Сложность этих задач варьируется на усмотрение преподавателя. В случае возникновения трудностей с выполнением этих заданий студент имеет право консультироваться с преподавателем. Предварительная «накопленная» оценка – это 10*M/N, округлённая по арифметическим правилам (числа M и N определены выше). Если студент(ка) решил(а) всё индивидуальное задание, то его/её «текущая» оценка становится равной десяти. В противном случае текущая оценка остаётся равной накопленной, то есть 10*M/N, эта величина округляется арифметически. Итоговая оценка вычисляется по линейной формуле О_итог = 0.71*О_тек + 0.29*О_экз и округляется по арифметическим правилам, здесь О_тек – текущая оценка, принцип формирования которой описан выше, а О_экз – оценка за экзамен.

Программа дисциплины