2019/2020
Дополнительные главы дифференциальных уравнений и динамических систем
Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается:
2-4 модуль
Преподаватели:
Гуревич Елена Яковлевна
Язык:
русский
Кредиты:
8
Контактные часы:
108
Программа дисциплины
Аннотация
Материал курса «дополнительные главы дифференциальных уравнений и динамических систем» включает как классические так и современные факты теории динамических систем и является важнейшей частью базовой подготовки специалиста по математике.
Цель освоения дисциплины
- Целью освоения дисциплины «дополнительные главы дифференциальных уравнений и динамических систем» является формирование у будущих специалистов глубоких теоретических знаний в области классической и современной теории дифференциальных уравнений, динамических систем и их приложений. В результате изучения курса студент должен знать основные понятия и теоремы в области дифференциальных уравнений и динамических систем; уметь решать типовые задачи; приобрести опыт применения дифференциальных уравнений и динамических систем в приложениях.
Планируемые результаты обучения
- Умеет доказывать основные теоремы раздела, решать задачи
- решает рассмотренные уравнения
- студент умеет доказывать основные теоремы и решать задачи по тематике раздела
- умеет доказывать и применять теорему
- Студент доказывает основные теоремы и решает типовые задачи по тематике раздела
- Студент умеет доказывать основные теоремы и решать типовые задачи по тематике раздела
- Студент имеет представление о проблематике раздела и современных достижениях в предметной области
Содержание учебной дисциплины
- Элементарные приемы интегрирования дифференциальных уравненийОднородные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним, уравнения Бернулли и Риккати, интегрирующий множитель. Методы понижения порядка уравнений порядка выше первого.
- Теорема существования и единственности решения задачи Коши системы дифференциальных уравненийДоказательство теоремы методом последовательных приближений Пикара. Особые точки и особые решения.
- Линейные уравненияЛинейные неоднородные уравнения. Теорема о структуре решения. Метод вариации постоянных. Уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Колебания маятника. Резонанс.
- Системы линейных дифференциальных уравненийСтруктура пространства решений систем с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных.
- Непрерывная зависимость решения от параметра. Автономные системы и векторные поляНепрерывная зависимость решения от параметра. Автономные системы и векторные поля. Поток векторного поля. Особые точки векторных полей. Индекс особой точки. Классификация особых точек систем второго порядка. Устойчивость решений по Ляпунову.
- Дифференцируемость решения по параметру. Асимптотические методы решения дифференциальных уравненийДифференцируемость решения по параметру. Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений. Первые интегралы. Уравнения с частным и производными первого порядка.
- Динамические системы на многообразияхДинамические системы на многообразиях. Топологическая эквивалентность и топологическая сопряженности. Понятие структурной устойчивости. Критерий грубости потоков на двумерной сфере. Потоки и каскады Морса-Смейла. Теория Пуанкаре-Бендиксона. Связь динамики гра- диентно-подобных систем и топологии несущего многообразия. Формула Эйлера-Пуанкаре. Энергетическая функция. Подходы к топологической классификации систем Морса-Смейла на поверхностях.
Элементы контроля
- экзаменЭкзамен проводится на платформе Zoom (https://zoom.us). К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка Zoom. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
- коллоквиум
- контольная работа
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (2 модуль)0.7 * коллоквиум + 0.3 * контольная работа
- Промежуточная аттестация (4 модуль)0.5 * контольная работа + 0.5 * экзамен
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Арнольд В.И. - Обыкновенные дифференциальные уравнения - Московский центр непрерывного математического образования - 2012 - 341с. - ISBN: 978-5-4439-2007-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56392
- Боровских А. В., Перов А. И. - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1 3-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 327с. - ISBN: 978-5-534-01777-9 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/differencialnye-uravneniya-v-2-ch-chast-1-434022
- Боровских А. В., Перов А. И. - ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В 2 Ч. ЧАСТЬ 2 3-е изд., пер. и доп. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 274с. - ISBN: 978-5-534-02097-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/differencialnye-uravneniya-v-2-ch-chast-2-434701
- Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. - Дифференциальные уравнения - Издательство "Физматлит" - 2002 - 256с. - ISBN: 978-5-9221-0277-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/48171
Рекомендуемая дополнительная литература
- Аносов Д.В. - Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем - Московский центр непрерывного математического образования - 2010 - 200с. - ISBN: 978-5-94057-604-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9281
- Обыкновенные дифференциальные уравнения и система Maple: Учебное пособие / Егоров А.И. - М.:СОЛОН-Пр., 2016. - 392 с.: ISBN 978-5-91359-205-7