Введение в топологию

2019/2020

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Где читается: Факультет информатики, математики и компьютерных наук (Нижний Новгород)

Когда читается: 1-3 модуль

Преподаватели: Жукова Нина Ивановна

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 124

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В процессе изучения курса происходит: 1) знакомство студентов с основными понятиями и результатами теоретико-множественной топологии и основами топологии многообразий; 2) обучение решению типовых теоретических и вычислительных задач; 3) приобретение студентами навыков применения топологических методов в смежных теоретических и прикладных областях. Активному усвоению материала способствует разбор многочисленных примеров, а также решение упражнений и задач.

Цель освоения дисциплины

Ознакомление с основными понятиями топологии ее приложениями. Изучение основ топологии, необходимых для освоения других математических дисциплин, и развитию практических навыков решения топологических задач. Формирование у студентов представления о топологии как одной из важнейших математических дисциплин, имеющей свой предмет, задачи и методы.

Планируемые результаты обучения

Знает основные понятия и теоремы раздела, умеет решать задачи. Умеет доказывать основные теоремы и применять их к решению задач
Имеет навыки работы с фактор- пространствами Умеет определять канонический вид поверхности по ее представлению правильным семейством многоугольников. Знает схему доказательства классификационной теоремы и умеет вычислять топологические инварианты поверхности.

Содержание учебной дисциплины

Общая топология
Топологические пространства. Сравнение топологий. Примеры. База топологии. Критерии базы в топологическом пространстве. Критерии базы на множестве. Метрическая топология. Аксиомы счетности и связь между ними. Теорема Линдлефа. Сепарабельность. Непрерывные отображения: эквивалентность четырех определений. Связь с определением непрерывности в математическом анализе. Гомеоморфизмы. Понятие о топологической классификации. Аксиомы отделимости и связь между ними. Теорема о метризуемости топологического пространства (без доказательства). Замыкание, внутренность и граница подмножеств топологического пространства и их свойства. Связность. Теоремы о связности топологических пространств. Свойства компонент связности. Вполне несвязные топологические пространства. Примеры. Линейная связность топологического пространства и ее свойства. Компоненты линейной связности и их свойства. Локально линейно связные пространства. Доказательство эквивалентности связности и линейной связности в локально линейных пространствах. Компактность топологического пространства Доказательство теорем о компактных пространствах, в том числе: 1) топологическая инвариантность компактности; 2) критерий компактности в n-мерном арифметическом пространстве с обычной топологией; 3) теорема Вейерштрасса о непрерывных функциях на компактных пространствах. Произведение топологических пространств. Теорема Тихонова о произведении компактных пространств. Теорема о перенесении свойств сомножителей на произведение. Фактор-топология. Тор, лист Мебиуса, бутылка Клейна как фактор-пространства квадрата на плоскости по соответствующим отношениям эквивалентности.
Топологические многообразия с краем. Топологическая классификация замкнутых поверхностей
Определение и примеры топологических многообразий. Независимость свойств: хаусдорфовости, связности и 2-й аксиомы счетности для топологического многообразия. Эквивалентность связности и линейной связности для многообразий. Теорема о классификации одномерных топологических многообразий. Понятие поверхности. Триангуляция поверхности. Теорема о существовании триангуляции для любой замкнутой поверхности (без доказательства). Правильное семейство многоугольников. Доказательство того, что любое правильное семейство многоугольников определяет замкнутую поверхность. Существование представления любой замкнутой поверхности правильным семейством многоугольников. Схема многоугольника. Канонические многоугольники и канонические поверхности. Элементарные преобразовании представления поверхности правильным семейством многоугольников 1-го и 2-го типов. Свойства элементарных преобразований. Доказательство теоремы о том, что любая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из канонических поверхностей. Эйлерова характеристика поверхности. Доказательство топологической инвариантности эйлеровой характеристики. Вычисление эйлеровой характеристики канонических поверхностей. Задача Эйлера о многогранниках. Ориентируемость поверхности. Доказательство топологической инвариантности ориентируемости поверхностей. Теорема о топологической классификации замкнутых поверхностей.

Элементы контроля

Контрольная работа
Письменно-устный экзамен. Решение задач представляется в письменном виде.
Экзамен проводится на платформе MS Teams (https://teams.microsoft.com). К экзамену необходимо подключиться согласно расписанию ответов, высланному преподавателем на корпоративные почты студентов накануне экзамена. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона, поддержка MS Teams. Для участия в экзамене студент обязан: поставить на аватар свою фотографию, явиться на экзамен согласно точному расписанию, при ответе включить камеру и микрофон. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться конспектами и подсказками. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи до 5 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение 5 минут и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи аналогична процедуре сдачи.
коллоквиум

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
0.25 * коллоквиум + 0.25 * Контрольная работа + 0.5 * Письменно-устный экзамен. Решение задач представляется в письменном виде.

Программа дисциплины