Дополнительные главы качественной теории динамических систем

Аспирантура 2019/2020

Статус: Курс обязательный

Направление: 01.06.01. Математика и механика

Кто читает: Кафедра фундаментальной математики

Когда читается: 2-й курс, 1 семестр

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Гуревич Елена Яковлевна, Полотовский Григорий Михайлович, Починка Ольга Витальевна

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 38

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Настоящая программа устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям аспиран-тов, обучающихся по направлению по направлению 01.06.01 Математика и механика, профиль «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Программа разработана в соответствии c: • образовательным стандартом по направлению 01.06.01 Математика и механика • учебным планом подготовки аспирантов по направлению 01.06.01 Математика и механика, профиль «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Дисциплина относится к вариативной части подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре для направления 01.06.01 Математика и механика, профиля «Дифференциаль-ные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». Читается на 1 году аспирантуры.

Цель освоения дисциплины

Изучение современных результатов качественной теории динамических систем и важных примеров систем, иллюстрирующих разнообразие динамических эффектов в математических моделях.

Планируемые результаты обучения

владеет терминологией, доказывает основные результаты раздела

Содержание учебной дисциплины

Топологические инварианты структурно-устойчивых систем
- Грубость, структурная устойчивость, гиперболичность. От работы А.А. Андронова и Л.С. Понтрягина до работ Д.В. Аносова и С. Смейла. Необходимые и достаточные условия структурной устойчивости динамических систем на многообразиях. Аксиома A и строгое условие трансверсальности. - Топологическая классификация динамических систем. Обзор результатов Е.А. Леонтович-Андроновой, А.Г. Майера и М. Пейшото по классификации структурно устойчи-вых систем на окружности и поверхностях до современных работ по топологической класси-фикации систем Морса-Смейла и систем со сложной динамикой на многообразиях произволь-ной размерности. Нерешенные проблемы. - Глобальная функция Ляпунова. Фундаментальная теорема теории динамических си-стем К. Конли. Результаты С. Смейла и К Мейера о существовании энергетической функции Морса и Морса-Ботта для структурно устойчивых потоков с регулярной динамикой на много-образиях. Построение энергетической функции Морса-Ляпунова для дискретных динамиче-ских систем Морса-Смейла. Нерешенные проблемы.
Гамильтоновы системы
- Гамильтоновы системы как модели задач естествознания. Уравнения Лагранжа и Гамильтона. Примеры гамильтоновых систем, элементарные свойства. - Простые и сложные гамильтоновы системы. Интегрируемые системы, методы их описания, появление интегрируемых систем при изучении неинтегрируемых. Теория возму-щений. - Сложное поведение гамильтоновых систем. Равномерная и неравномерная гиперболичность в гамильтоновой динамике. Возникновение эллиптичности при возмущении неравномерно гиперболической динамики. Нерешенные задачи.

Элементы контроля

реферат
экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (I семестр)
0.5 * реферат + 0.5 * экзамен

Программа дисциплины