• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Аспирантура 2019/2020

Топология и геометрия слоений

Статус: Курс по выбору
Направление: 01.06.01. Математика и механика
Когда читается: 2-й курс, 1 семестр
Формат изучения: без онлайн-курса
Преподаватели: Жукова Нина Ивановна
Язык: русский
Кредиты: 4
Контактные часы: 48

Программа дисциплины

Аннотация

Курс «Топология и геометрия слоений» содержит основные понятия и фундаментальные результаты по геометрической теории слоений. Он содержит следующие разделы: 1. Гладкие слоения. Топологические свойства слоев; 2. Слоения, согласованные с геометрическими структурами; 3. Слоения со связностями Эресмана и 4. Применение алгебраической топологии при изучении слоений. Особое внимание уделено существованию минимальных множеств и, в особенности, замкнутых слоев слоений. Аспиранты знакомятся с теоремой Новикова о существовании замкнутого слоя для слоений коразмерности один на трехмерной сфере, а также с результатами Фака и Скандалиса о характеризации топологических свойств слоений посредством алгебраических свойств C*-алгебр этих слоений.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины являются изучение фундаментальных разделов теории слоений и овладение современным математическим аппаратом теории слоений для дальнейшего использования при решении задач как теории слоений, так и задач теории динамических систем.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Умение применять связности Эресмана при исследовании глобальной структуры слоений с трансверсальными геометриями. Знать идеи доказательства теорем Де Рама и Ву для приводимых римановых и невырожденно приводимых псевдоримановых многообразий. Уметь строить примеры.
  • Знание топологических свойств слоев слоений, изучение классических результатов Риба и Эресмана, а также Новикова и Пале. Знание теорем о существовании минимальных множеств слоений.
  • Освоение методов слоеных расслоений для слоений, согласованных с трансверсальными геометрическими структурами и применение их к исследованию вопросов существования и структуры минимальных множеств слоений. Знакомство с теорией Молино римановых слоений.
  • Освоение методов алгебраической топологии для исследования слоений: с помощью C*-алгебр комплекснозначных функций на группоидах голономии, а также с применением групп базовых когомологий.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Гладкие слоения. Топологические свойства слоев
    Гладкие слоения. Примеры слоений на торе, листе Мебиуса и бутылке Клейна. Слоение Риба на трехмерной сфере. Теорема Новикова о слоениях коразмерности один на трехмерной сфере. Слоевая топология. Формулы преобразования расслоенных координат. Слой слоения как погруженное многообразие слоеного многообразия. Собственные, локально плотные и исключительные слои. Теоремы о топологических свойствах слоев. Группа голономии слоения. Теорема Риба о локальной устойчивости слоя с конечной группой голономии. Минимальные множества и их свойства. Доказательство теорем о достаточных условиях существования минимального множества слоения. Формулировка классических теорем Данжуа – Зигеля, Шварца и Новикова на языке минимальных множеств. Слоение Данжуа с исключительным минимальным множеством.
  • Слоения, согласованные с геометрическими структурами
    Понятие трансверсальной геометрической структуры слоения. Римановы и конформные слоения. Построение слоеных расслоений. Группы голономии слоения: различные интерпретации. Теорема о глобальной устойчивости компактного слоя с конечной группой голономии. Теория Молино о структуре римановых слоений на компактном многообразии. Теорема о существовании аттрактора нериманова конформного слоения, являющегося минимальным множеством. Структура неримановых конформных слоений коразмерности больше, чем два.
  • Слоения со связностями Эресмана
    Связность Эресмана для гладкого слоения и ее группа голономии. Теоремы разложения для слоений с интегрируемыми связностями. Доказательство существования связности для римановых и вполне геодезических слоений. Параллельные слоения на приводимых псевдоримановых многообразиях и их свойства. Доказательство теорем Ву и Де Рама о разложении односвязных приводимых псевдоримановых и римановых многообразий. Строение неодносвязных приводимых псевдоримановых и римановых многообразий. Построение примеров.
  • Применение алгебраической геометрии при изучении топологии слоений
    График слоения. Критерий хаусдорфовости пространства графика слоения. График как группоид голономии слоения. С*- алгебры слоеного группоида. Теоремы Фака и Скандалиса о связи топологических свойств слоения и алгебраических свойств С*- алгебры его группоида голономии. Базовые внешние формы на слоеном многообразии. Базовые когомологии. Примеры вычисления базовых когомологий слоения. Минимальные подмногообразия риманова многообразия. Гармонические слоения. Вполне геодезические слоения как подкласс гармонических. Проблема существования римановой метрики на слоеном многообразии, относительно которой слоение становится гармоническим. Гипотеза Карьера о минимизируемости римановых слоений на компактных многообразиях. Критерий Мазы выполнения гипотезы Карьера.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий коллоквиум
    Аспиранты, сдавшие коллоквиум, освобождаются от сдачи материала, вошедшего в коллоквиум на экзамене.
  • неблокирующий экзамен
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (I семестр)
    0.5 * коллоквиум + 0.5 * экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Прасолов В.В. - Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии - Московский центр непрерывного математического образования - 2004 - 352с. - ISBN: 5-94057-072-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9395

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Скопенков А.Б. - Алгебраическая топология с геометрической точки зрения - Московский центр непрерывного математического образования - 2016 - 270с. - ISBN: 978-5-4439-2477-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/71854