• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2021/2022

Начала функционального анализа и оптимизация

Статус: Майнор
Когда читается: 3, 4 модуль
Язык: русский
Кредиты: 5

Программа дисциплины

Аннотация

Почти три тысячи лет назад принцесса из Тира, Дидона обманула царя максиев – купила землю, которая уместится в шкуре быка, а затем из этой шкуры сделали тонкий ремешок и обтянули заметный кусок берега, на котором потом построили Карфаген. Но, помимо исторических последствий содеянного, осталась задача: какую форму нужно придать ремешку заданной длины, чтобы окружить наибольшую площадь. Ответ: если берег моря ровный, то это полуокружность. Настолько большого радиуса, насколько позволит длина ремешка. А как это доказать? А если берег моря не ровный? А если качество (и продажная стоимость) земли не постоянны? Какая тогда должна быть форма области внутри ремешка? Во многих случаях оптимизацию проводит не человек, а сама природа. Тяжелая цепь заданной длины, подвешенная за концы, выбирает форму, минимизирующую потенциальную энергию, луч, идущий в оптически неоднородной среде из точки А в точку Б, минимизирует не пройденный путь, а потраченное на путь время (в неоднородной среде это не одно и то же). Отсюда следуют законы Снеллиуса преломления луча при переходе через границу сред. Из-за рефракции можно видеть миражи. И Солнце, спустя целую минуту после его фактического захода за линию горизонта. В курсе мы обсудим, когда разгонять поезд, а когда тормозить, чтобы прибыть на следующую станцию как можно быстрее. Или как наилучшим образом согласовать полученную из GPS и спидометра информацию о движении автомобиля. Ведь они не абсолютно согласованы между собой - каждый измерительный прибор имеет свою ошибку измерения. Таким образом, вместо минимума функций одного или нескольких переменных, о поисках которого шла речь в первом курсе майнора, здесь в качестве аргумента минимизируемого функционала рассматриваются, функции, кривые, стратегии, поверхности и т.п. бесконечномерные объекты. Во многих случаях такую проблему минимизации удается свести к решению краевой задачи для дифференциального уравнения или системы. Будут рассматриваться как аналитические методы решения, так и численные алгоритмы. Например, варианты метода градиентного спуска.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Показать на многочисленных примерах из различных областей науки, техники, экономики эффективность математических моделей, основанных идеях оптимизации функций, кривых, поверхностей и т.п. Слушатели майнора должны будут на примерах познакомиться с идеями построения моделей (вывод минимизируемого функционала – критерия качества - и ограничений, интегральных или дифференциальных, для искомого решения, а также граничных условий) и изучить математическую теорию, позволяющую качественно и количественно исследовать решения соответствующих задач. Будут рассмотрены различные дискретные аппроксимации функционалов, позволяющие использовать компьютеры для приближенного решения этих задач. Будем изучать методы оценки точности и вычислительной трудоемкости этих алгоритмов. Нужно будет написать машинные коды для реализации этих алгоритмов. Речь идет как о работе со стандартными пакетами программ, так и об их самостоятельном написании. Анализ результатов будет сопровождаться построением различных визуализаций. Будет существенно использован материал всех курсов майнора. Предполагается, что задачи такого рода будут возникать в будущей профессиональной деятельности слушателя. Если у него такая модель уже имеется на примете, то возможно написание курсовой работы, а впоследствии - ВКР.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Умеет строить итерационные алгоритмы для сжимающих отображений.
  • Умеет решать простейшие дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных) в пространстве обобщенных функций.
  • Умеет составлять и решать простейшие уравнения (и системы) Эйлера для интегральных функционалов. Умеет строить граничные условия трансверсальности для этих функционалов и условия Вейерштрасса – Эрдмана в случае разрывных коэффициентов.
  • Умеет построить алгоритм определения сопряженной точки и программно реализовать его
  • Умеет строить лагранжианы для основных недиссипативных моделей и получать соответствующие законы эволюции.
  • Умеет находить условные стационарные решения задач на условный экстремум интегральных функционалов при наличии интегральных или дифференциальных связей. Умеет строить модели согласования измеренной информации нескольких параметров и известных дифференциальных соотношений между ними.
  • Умеет строить гамильтониан для простейших задач и определять оптимальное кусочно-гладкое решение.
  • Умеет разработать итерационный алгоритм наилучшей аппроксимации функции в пространстве многочленов степени не выше данной и среди рациональных функций с ограничениями степеней числителя и знаменателя, а также программно реализовать его.
  • Умеет разработать итерационный алгоритм минимизации и программно его реализовать
  • Умеет составить интегральное уравнение для соответствующей физической задачи. Умеет численно определять первые собственные функции интегрального оператора. Умеет численно определять функцию Грина краевой задачи – интегральный оператор Фредгольма.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Функционалы и операторы.
    Линейные и нелинейные непрерывные функционалы и операторы. Примеры. Сжимающие отображения и неподвижная точка. Изометрические отображения.
  • Интегральные уравнения Фредгольма
    Интегральные уравнения типа свертки и учет шумов. Обратная задача рассеяния для атмосферы Земли. Уравнения Фредгольма второго рода. Корректность и регуляризация. Теорема Мерсера и эмпирические ортогональные функции. Сравнение методов оценки функции Грина краевой задачи: метод Лагранжа и разложение по собственным функциям.
  • Теория обобщенных функций
    Определение и основные свойства. Дифференцирование обобщенных функций. Фундаментальные решения уравнения Лапласа и бигармонического уравнения во всем пространстве.
  • Гладкие функционалы
    Первая вариация. Необходимое условие экстремума гладкого нелинейного функционала. Уравнение Эйлера. Решение простейших уравнений Эйлера. Вариационное согласование информации о координате и скорости. Вариационные задачи для функций многих переменных и для вектор-функций. Условия трансверсальности и условия Вейерштрасса – Эрдмана.
  • Вторая вариация
    Квадратичные функционалы. Вторая вариация и уравнение Якоби. Уравнение Риккати. Сопряженные точки и потеря положительной определенности - экстремаль уже не реализует минимум. Экстремальные свойства собственных чисел и собственных функций задачи Штурма – Лиувилля.
  • Принцип наименьшего действия
    Лагранжианы конечномерных механических систем. Диссипативные и недиссипативные модели. Интеграл Дирихле. Колебания струн, мембран, стержней. Уравнения Максвелла.
  • Задачи на условный экстремум
    Цепная линия и катеноид. «Особые» экстремали. Задача Дидоны. Вариационные задачи с дифференциальными связями. Вариационное согласование наблюдений и дифференциальных уравнений. Вариационные методы усвоения неоднородной числовой информации.
  • Принцип максимума Понтрягина
    Ограничения типа неравенств. Кусочно-гладкие решения. Гамильтониан задачи.
  • Минимакс
    Задача о наилучшем равномерном приближении многочленами степени не выше данной. Теорема об альтернансе. Многочлены Чебышёва.
  • Численные методы минимизации функционалов
    Метод градиентного спуска. Алгоритмы выбора шага.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашняя работа
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Оценка качества компьютерных программ, отлаженных на программистской части семинаров
  • неблокирующий Оценка ответов и решение задач на теоретической части семинаров
  • неблокирующий Экзамен
    Включает теоретическую часть и решение задачи на компьютере.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.1 * Домашняя работа + 0.1 * Контрольная работа + 0.15 * Оценка качества компьютерных программ, отлаженных на программистской части семинаров + 0.15 * Оценка ответов и решение задач на теоретической части семинаров + 0.5 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • - Агранович М.С. — Обобщенные функции - Московский центр непрерывного математического образования - 2008 - ISBN: 978-5-94057-402-6 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9275
  • - Агранович М.С. — Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей - Московский центр непрерывного математического образования - 2013 - ISBN: 978-5-4439-2068-9 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/56385
  • - Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. — Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи - Издательство "Физматлит" - 2011 - ISBN: 978-5-9221-0590-3 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2097
  • - Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. — Оптимальное управление - Издательство "Физматлит" - 2005 - ISBN: 5-9221-0589-2 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/48177
  • - Арнольд В.И., Хесин Б.А. — Топологические методы в гидродинамике - Московский центр непрерывного математического образования - 2007 - ISBN: 978-5-94057-312-8 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9291
  • - Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А. — Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах - Издательство "Физматлит" - 2005 - ISBN: 5-9221-0628-7 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/59405
  • - Васильева А.Б., Тихонов Н.А. — Интегральные уравнения - Издательство "Лань" - 2009 - ISBN: 978-5-8114-0911-2 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/42
  • - Гордин В.А. — Как это посчитать? - Московский центр непрерывного математического образования - 2005 - ISBN: 5-94057-179-4 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9327
  • - Гордин В.А. — Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики - Издательство "Физматлит" - 2010 - ISBN: 978-5-9221-1130-0 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/59516
  • - Гюнтер Н.М. — Курс вариационного исчисления - Издательство "Лань" - 2009 - ISBN: 978-5-8114-0893-1 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/119
  • - Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. — Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения - Издательство "Лань" - 2010 - ISBN: 978-5-8114-0799-6 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/537
  • - Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. — Теоретическая физика. В 10 т. Т. I. Механика - Издательство "Физматлит" - 2007 - ISBN: 978-5-9221-0819-5 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2231
  • - Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. — Теоретическая физика. Т.2. Теория поля - Издательство "Физматлит" - 2006 - ISBN: 5-9221-0056-4 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2236
  • - Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. — Теоретическая физика. Т.7 Теория упругости - Издательство "Физматлит" - 2007 - ISBN: 978-5-9221-0122-6 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/2233
  • - Люстерник Л.А., Соболев В.И. — Краткий курс функционального анализа - Издательство "Лань" - 2009 - ISBN: 978-5-8114-0976-1 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/245
  • Динамическое программирование и уравнения в частных производных, Беллман Р., Энджел Э., 1974
  • Интегральные преобразования обобщенных функций, Земанян А. Г., Брычкова Ю. А., 1974
  • Интегральные уравнения : введение в теорию: учеб. пособие для вузов, Краснов М. Л., 1975
  • Интегральные уравнения, Трикоми Ф., Боярского Б. В., 1960
  • Краткий курс теории экстремальных задач, Галеев Э. М., Тихомиров В. М., 1989
  • Курс вариационного исчисления : учебник для гос. ун-тов, Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., 1938
  • Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления, Янг Л., Элуашвили М. Г., 1974
  • Лекции по теории аппроксимации, Ахиезер Н. И., 1965
  • Лекции по теории интегральных уравнений : Учебник, Петровский И. Г., 1965
  • Математические методы для физических наук, Шварц Л., Юэ Д., 1965
  • Математические методы классической механики : учеб. пособие для ун-тов, Арнольд В. И., 1979
  • Обобщенные функции, Агранович М. С., 2008
  • Оптимальное управление : учебник для вузов, Алексеев В. М., Тихомиров В. М., 2005
  • Полянин А. Д., Манжиров А. В.-ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В 2 Ч. ЧАСТЬ 1 2-е изд., испр. и доп. Справочник для вузов-М.:Издательство Юрайт,2019-369-Бакалавр. Академический курс-978-5-534-02917-8, 978-5-534-02919-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/integralnye-uravneniya-v-2-ch-chast-1-437089
  • Полянин А. Д., Манжиров А. В.-ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В 2 Ч. ЧАСТЬ 2 2-е изд., испр. и доп. Справочник для вузов-М.:Издательство Юрайт,2019-238-Бакалавр. Академический курс-978-5-534-02918-5, 978-5-534-02919-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/integralnye-uravneniya-v-2-ch-chast-2-438584
  • Приближенное решение задач оптимального управления, Федоренко Р. П., 1978
  • Привалов И. И.-ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 4-е изд. Учебник для вузов-М.:Издательство Юрайт,2019-253-Авторский учебник-978-5-534-01552-2: -Текст электронный // ЭБС Юрайт - https://biblio-online.ru/book/integralnye-uravneniya-433812
  • Теоретическая физика. Т. 2: Теория поля, Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., 2018
  • Теоретическая физика. Т.7: Теория упругости, Ландау Л. Д., 2003
  • Численные методы : учеб. пособие для вузов, Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., 2002

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Методы гильбертова пространства, Морен К., Лянце В. Э., 1965
  • Элементы функционального анализа, Люстерник Л. А., Соболев В. И., 1965