Графы и топология

2020/2021

Статус: Майнор

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Преподаватели: Басалаев Алексей Андреевич, Буряк Александр Юрьевич, Жгун Владимир Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 80

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Объекты, которым посвящен курс, - геометрической и топологической природы. Они универсальны и могут описывать совершенно разные объекты и явления реальной жизни. Графы используются в большинстве математических моделей, описывающих дискретные структуры с различными связями. Топология изучает наиболее принципиальные свойства реальных объектов, не зависящие от их описания в тех или иных координатах, и дает многочисленные выводы о существовании или несуществовании объектов или их подмножеств с заданными свойствами (как-то: о достижении экстремальных или предписанных значений функций и отображений, о неподвижных точках движений, о равновесных и стационарных решениях…) • Логический вывод и доказательства. Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: • Математика в объеме программы средней школы. • Язык конечных множеств и операций над ними.

Цель освоения дисциплины

Освоение геометрических и топологических концепций, используемых в естествознании и в математических моделях социальных процессов.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при исследовании графов в различных приложениях, возникающих в разнообразных дисциплинах, изучаемых слушателями майнора в рамках основных образовательных программ.

Планируемые результаты обучения

В результате освоения дисциплины студент должен знать основные понятия тех разделов математики, которые включены в программу; уметь решать базовые задачи по каждому разделу; уверенно пользоваться математическим языком, владеть терминологией по каждому разделу; приобрести опыт устного и письменного изложения математических рассуждений.

Содержание учебной дисциплины

Определение графов, их типы, приложения и простейшие свойства. Примеры из практики. Таблицы смежности и таблицы инцидентности.
Связные графы. Порождающее дерево. Эйлеровы пути и гамильтоновы циклы. Мосты Кенигсберга.
Классификация, инварианты и перечисление графов.
Плоские графы, препятствия к планарности, инварианты пространственных графов.
Двудольные графы. Теорема Холла.
Метрические пространства: примеры и свойства. Гомеоморфизм. Теоремы об экстремальных и промежуточных значениях.
Большие и бесконечные графы, их асимптотические свойства.
Индекс зацепления замкнутых кривых.
Фундаментальная группа, классификация двумерных поверхностей, гомологии. Эйлерова характеристика.
10. Теоремы о неподвижных точках. Теорема о причесывании ежа. Основная теорема алгебры.

Элементы контроля

Контрольная в середине
Контрольная в конце
Домашнее задание 1
Домашнее задание 2
Домашнее задание 3
Домашнее задание 4
Контрольная в середине
Контрольная в конце
Домашнее задание 1
Домашнее задание 2
Домашнее задание 3
Домашнее задание 4

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
Две промежуточные контрольные: в середине с весом 0.3 и в конце с весом 0.7; четыре домашних задания с весом 1.75, округление суммы до ближайшего целого (ровно n.5 округляется вниз до n), после всего берется минимум из полученного результата и 10.

Программа дисциплины