• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2020/2021

Дополнительные главы математического анализа

Статус: Майнор
Когда читается: 1, 2 модуль
Язык: русский
Кредиты: 5

Программа дисциплины

Аннотация

Алгебраические уравнения встречаются на каждом шагу. Примеров рассмотрим много. Но не каждое такое уравнение имеет вещественное решение, например, x^2+1=0. А вот комплексных решений у уравнения P_n(x)=0 c учетом их возможной кратности существует ровно n, где n – степень уравнения. Это утверждает Основная теорема алгебры. Если n≤4, то корни находятся по известным формулам, которые используют четыре арифметических действия и извлечение корней. Для уравнений более высокой степени такой общей формулы не существует и не может существовать, - это следует из теории Эвариста Галуа. Зато можно эти корни найти с любой точностью на компьютере, - постепенно к ним приближаясь. Простейший вариант – решение квадратного уравнения методом Герона Александрийского (метод, кстати, старше самого Герона не менее, чем на пять веков). Алгебраическими уравнениями дело не ограничится, будем решать методом Ньютона уравнения более общего вида – уметь бы вычислять функцию и ее первую производную, а остальное быстро сделает компьютер. Если начать приближаться к решению с небольшого расстояния, то очень быстро погрешность станет исключительно маленькой. А вот если издалека – тут возможны различные эффекты. Например, исключительной красоты фракталы – на компьютере их получим сами. Затем научимся решать и системы уравнений с несколькими неизвестными. Для этого потребуются матрицы Якоби. Нужно будет находить решения уравнений и систем, зависящие от параметров. Мы изучим методы интерполяции – как по значениям функции в дискретные моменты времени приближенно оценить ее значения в промежуточные моменты. Если эти значения известны с некоторой погрешностью (шумом), то к какой погрешности это приведет у проинтерполированной функции (иногда такие последствия бывают катастрофическими). Сплайны оказываются намного «устойчивее» к шумам, чем многочлены. Мы рассмотрим различные динамические системы, которые изменяются «по шагам», т.е. с дискретным временем. Размножение популяций с учетом специфики рождаемости и смертности для возрастов. Конечно-разностные уравнения позволяют производить оценки и расчеты. А заодно можно оценивать результаты случайных блужданий по сеткам и решеткам или вероятности выигрыша в игре с постоянной суммой. Помимо решения уравнений матанализ помогает находить экстремумы функций, в том числе и зависящих от многих переменных. Мы выясним, какие бывают «типичные» минимумы и максимумы, что значит «типичный», и насколько редко встречаются нетипичные. И как искать экстремум не среди всех значений параметров, а только среди тех, которые удовлетворяют дополнительным условиям – метод множителей Лагранжа весьма эффективен. А что можно сказать о функции, если известны ее несколько производных в одной точке? Ряд Тейлора иногда весьма хорош, но он имеет некоторые препятствия к сходимости в больших областях. А вот рациональные аппроксимации, придуманные Эрмитом и Паде в конце XIXв часто оказываются намного эффективнее, причем в самых неожиданных приложениях. Мы изучим общие свойства поверхностей и векторных полей, научимся вычислять циркуляцию, дивергенцию и т.п. Оказывается, что свойства векторных полей и дифференциальных форм на поверхностях или в областях могут быть удивительным образом связаны с топологией этих геометрических объектов. Например, с количеством дырок в головке сыра. Расстояния между числами и векторами мы умеем вычислять – теорема Пифагора помогает. Причем не только в R^2 и R^3, но и в пространствах большой или даже бесконечной размерности. Оказывается, такие объекты очень полезны и для обработки больших массивов информации, и для изучения процессов в сложных системах. Мы рассмотрим весьма общие объекты, между которыми можно и полезно вычислять расстояние. Например, расстояние между словами, между кривыми или между функциями. Мы обсудим аналитические и приближенные методы вычисления интегралов. Оказывается, что и тут выход в комплексную область оказывается эффективным. В компьютерных алгоритмах будем интересоваться зависимостью погрешности от числа арифметических операций – алгоритмы должны быть эффективными.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Показать на многочисленных примерах эффективность применения методов математического анализа и линейной алгебры, изученного студентами на 1 курсе.
  • Расширить круг этих методов, включив в доступный слушателям майнора математический и вычислительный аппарат функции (скалярные и векторные) многих переменных, а также дифференциальные операторы на них действующие; теорию функций комплексного переменного, теорию интерполяции и аппроксимации функций (работа с большими массивами числовой информации), применение теории разностных уравнений для описания различных явлений: эволюция численности популяций, теория игр, задачи о случайных блужданиях, комбинаторные задачи.
  • Выучить методы программной реализации предложенных алгоритмов. Решение задачи должно начинаться с построения математической модели, затем строится алгоритм численной (часто компьютерной) реализации и написание кода. На семинарах будет уделено внимание эффективности написания кодов и их отладки. Важную роль в профессиональной работе играет работа с графиками: их анализ, проверка правильности и эффективности алгоритма и качественные выводы из графиков. Речь идет как о работе со стандартными пакетами программ, так и об их самостоятельном написании.
  • Подготовить слушателей к следующим курсам майнора
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Умеет доказывать основную теорему алгебры и теорему Безу. Умеет по корням многочлена восстанавливать его коэффициенты. Умеет написать код программы, реализующий метод Герона.
  • Умеет оценить область гарантированной сходимости метода Ньютона. Умеет написать код для метода Ньютона. Умеет построить фрактальную картину на комплексной плоскости бассейнов притяжения для решения алгебраического уравнения методом Ньютона.
  • Умеет по матрице Гессе определить тип критической точки гладкой функции нескольких переменных. Умеет написать код для поиска корней системы уравнений методом Ньютона – Рафсона.
  • Умеет строить функцию Лагранжа для различных вариантов ограничений и определять точки ее вырождения.
  • Умеет применять инвариантные дифференциальные операторы к функциям и векторным полям на многомерных пространствах. Владеет аппаратом дифференциальных форм. Умеет применять варианты теоремы Стокса для вычисления многомерных интегралов типа потока, циркуляции и т. п. Понимает связь между структурой кольца дифференциальных форм и топологией области.
  • Владеет основными понятиями теории метрических пространств, сходимости, непрерывных отображений. Знает различные примеры метрических пространств. Умеет доказывать теорему о существовании и единственности сжимающего отображения в полном метрическом пространстве и применять ее к конкретным примерам, в том числе с помощью программных кодов.
  • Знает основные свойства линейных нормированных пространств. Умеет доказывать основную теорему аппроксимации. Знает основные свойства гильбертовых пространств. Умеет доказывать неравенства Гельдера и Минковского. Умеет построить ортогональный базис в пространстве функций. Умеет сформулировать лемму вложения Соболева.
  • Умеет строить собственные базисы для дифференциальных операторов с постоянными и кусочно-постоянными коэффициентами при разных вариантах граничных условий. Умеет раскладывать функции по собственным базисам (в ряды Фурье). Умеет реализовывать такие разложения с помощью программных кодов.
  • Знает основные свойства линейных конечно-разностных уравнений и систем произвольного порядка. Умеет по корням характеристического уравнения определить асимптотику решения на бесконечности. Умеет программно реализовать модели, основанные на решении линейных и нелинейных конечно-разностных систем.
  • Умеет программно реализовать алгоритмы оценки вероятности выигрыша, предельное поведение марковской цепи и скорость ее выхода на стационар. Умеет объяснить связь между случайным блужданием на решетке и решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
  • Умеет программно реализовать алгоритм построения интерполяционного многочлена и оценить константу Лебега (усиление амплитуды шумов при интерполяции с данной сетки).
  • Умеет оценивать невырожденность трехдиагональной матрицы с помощью теоремы Гершгорина. Может программно реализовать алгоритм метода прогонки.
  • Понимает условия существования рациональной аппроксимации Паде – Эрмита. Умеет программно реализовать алгоритм построения коэффициентов аппроксимирующей рациональной функции. Умеет построить на комплексной плоскости изолинии погрешности аппроксимации Паде - Эрмита.
  • Умеет программно реализовать компактные алгоритмы приближенного вычисления с высоким порядком точности производных и в точках самой сетки, и в промежуточных точках, а также решение задачи интерполяции. Умеет оценивать обратимость соответствующих матриц.
  • Умеет программно реализовывать различные квадратурные формулы для одномерных определенных интегралов. Понимает значение оптимизации расположения узлов квадратурной формулы.
  • Умеет доказывать основные теоремы комплексного анализа. Умеет вычислять определенные интегралы с помощью вычетов. Умеет программно реализовывать вычисление интегралов по кривой на комплексной плоскости от комплексно-значной функции.
  • Знает простейшие типы вырожденных критических точек. Владеет понятием свойства системы, выполняющегося в общем положении и понятием коразмерности вырождения.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Корни многочленов.
    Комплексные числа и их свойства. Основная теорема алгебры. Извлечение квадратного корня из вещественных и комплексных чисел итерационным методом Герона. Существование периодических точек и уход решения на бесконечность.
  • Итерационные методы поиска корней и бассейны притяжения
    Метод Ньютона для итерационного решения сложных нелинейных уравнений. Стационарные (неподвижные) точки итерационного процесса бывают устойчивые и неустойчивые. Бассейны притяжения стационарных точек. Сверхсходимость метода Ньютона в окрестности корня уравнения. Устойчивость периодических решений. Случай кратных корней – как ускорить процесс вычислений. Бассейны притяжения для решения квадратного уравнения – что происходит на прямой - границе бассейнов притяжения двух корней. Бассейны притяжения для решения кубического уравнения. Невыполненное обещание Кэли. Фракталы. Бифуркации.
  • Функции нескольких переменных
    Функции нескольких переменных. Матрица Якоби. Экстремумы и стационарные (критические) точки гладких функций нескольких переменных. Матрица Гессе. Для каких функций можно гарантировать ее симметричность. Теорема о неявной функции. Метод Ньютона – Рафсона для численного решения систем нелинейных уравнений.
  • Условные экстремумы
    Условные экстремумы функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа.
  • Стационарные точки и общее положение
    Лемма Морса. Примеры вырожденных стационарных точек. Понятие общего положения системы – что в жизни может случиться, а что – нет. Теорема о трансверсальности.
  • Дифференциальные формы и теорема Стокса
    Векторный анализ. Градиент, дивергенция, ротор. Оператор Лапласа. Дифференциальные формы. Гомотопии и гомологии. Всегда ли безвихревое векторное поле градиентное? Теорема Стокса и ее варианты.
  • Метрические пространства
    Примеры. Ограниченные и сходящиеся последовательности. Замкнутые и открытые множества. Замыкание. Пополнение. Неподвижная точка сжимающего отображения
  • Пространства функций
    Линейные пространства, конечномерные и бесконечномерные. Пространства функций. Нормированные пространства. Гильбертовы пространства. Пространства Соболева.
  • Собственные функции и их приложения
    Базисы в пространстве функций: ряды Фурье и ортогональные полиномы. Собственные функции и собственные числа дифференциальных операторов.
  • Конечно-разностные уравнения и системы
    Динамика численности популяции. Последовательность Фибоначчи. Конечно-разностные уравнения, линейные и нелинейные. Задача Коши. Конечно-разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай кратных корней. Системы конечно-разностных уравнений. Модель Лесли – динамика численности популяции с учетом различий возрастных групп. Когда численность растет на больших временах.
  • Случайные блуждания и игры
    Задача об игре с постоянной суммой (случайные блуждания на сетке). Вероятность выигрыша. Среднее время игры. Зависимость от размера ставки в одном гейме. Игра с возможностью ничьей. Случай инерции проигрыша. Задача блужданий на решетке и уравнение Лапласа. Марковские цепи.
  • Интерполяция и устойчивость к шумам
    Как по значениям функции на дискретной сетке точек восстановить ее значения на всем отрезке – задача интерполяции. Интерполяция Лагранжа. Базис в пространстве многочленов заданной степени. Достоинства и недостатки использования многочлена высокого порядка. Константа Лебега.
  • Сплайны
    Кубические сплайны Шонберга дефекта 1 и изгиб балки под действием точечных нагрузок. Необходимость граничных условий для построения интерполяционного сплайна. Сплайн наилучшего приближения. Метод прогонки для трехдиагональной СЛАУ.
  • Ряды Тейлора и аппроксимация Паде
    Аппроксимация гладкой функции рядом Тейлора. Граница области сходимости ряда Тейлора с центром в нуле для функции . Пример Коши. Аппроксимация Паде – Эрмита гладкой функции и ее преимущества. Всегда ли она возможна. Формула Перрона. Векторное обобщение рациональной аппроксимации.
  • Компактные разностные схемы
    Компактные разностные схемы для приближенного вычисления производных от функций, заданных на дискретной сетке. Метод компактной интерполяции. Компактные разностные схемы на двумерных сетках.
  • Квадратурные формулы
    Квадратурные формулы для приближенного вычисления интегралов от функции на отрезке: прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса. Порядок точности квадратурной формулы.
  • Введение в комплексный анализ
    Уравнения Коши – Римана (Даламбера – Эйлера). Голоморфные функции. Интеграл Коши. Ряд Тейлора и круг его сходимости. Уравнение Лапласа и гармонические функции. Теорема о среднем.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашняя работа
  • неблокирующий Контрольная работа
  • неблокирующий Оценка качества компьютерных программ, отлаженных на программистской части семинаров
  • неблокирующий Оценка ответов и решение задач на теоретической части семинаров
  • неблокирующий Экзамен
    Включает теоретическую часть и решение задачи на компьютере
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.1 * Домашняя работа + 0.1 * Контрольная работа + 0.15 * Оценка качества компьютерных программ, отлаженных на программистской части семинаров + 0.15 * Оценка ответов и решение задач на теоретической части семинаров + 0.5 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • - Арнольд В.И. — Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов - Московский центр непрерывного математического образования - 2014 - ISBN: 978-5-4439-2048-1 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/56389
  • - Гордин В.А. — Как это посчитать? - Московский центр непрерывного математического образования - 2005 - ISBN: 5-94057-179-4 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/9327
  • - Гордин В.А. — Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики - Издательство "Физматлит" - 2010 - ISBN: 978-5-9221-1130-0 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/59516
  • - Курош А.Г. — Курс высшей алгебры: учебник - Издательство "Лань" - 2019 - ISBN: 978-5-8114-4304-8 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/118617
  • - Петровский И.Г. — Лекции об уравнениях с частными производными - Издательство "Физматлит" - 2009 - ISBN: 978-5-9221-1090-7 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/59551
  • - Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х тт. Том 1: учебник - Издательство "Лань" - 2019 - ISBN: 978-5-8114-3993-5 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/113948
  • - Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х тт. Том 3: учебник - Издательство "Лань" - 2019 - ISBN: 978-5-8114-3995-9 - Текст электронный // ЭБС Лань - URL: https://e.lanbook.com/book/113950
  • Дифференциальные и разностные уравнения : какие явления они описывают и как их решать: учеб. пособия для вузов, Гордин В. А., 2016
  • Теория сплайнов и ее приложения, Алберг Дж., Нильсон Э., 1972
  • Теория функций комплексного переменного : учебник для вузов, Шабунин М. И., Сидоров Ю. В., 2002

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Исчисление конечных разностей : Учеб.пособие для ун-тов, Гельфонд А. О., 1967