Фундаментальные квантовые принципы и явления

Магистратура 2019/2020

Статус: Курс обязательный (Математические методы моделирования и компьютерные технологии)

Направление: 01.04.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Лозовик Юрий Ефремович

Прогр. обучения: Математические методы моделирования и компьютерные технологии

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины являются изучение основных понятий и математических моделей физики наноструктур, перечисленных в пункте 8 программе дисциплины, а также формирование у учащихся навыков применения полученных знаний для решения научно-исследовательских и прикладных задач.

Цель освоения дисциплины

ознакомление студентов с основными понятиями, принципиально новыми концепциями, математическими моделями, методами расчета и моделирования в квантовой физике, в частности, используемыми в современных актуальных исследованиях в физике конденсированного состояния и физике наноструктур
научить делать простые оценки квантовых эффектов
научить методам моделирования базовых квантовых наносистем
изучение основных понятий и математических моделей физики наноструктур
формирование у учащихся навыков применения полученных знаний для решения научно-исследовательских и прикладных задач

Планируемые результаты обучения

называет основные постулаты квантовой механики
записывает вид основных операторов наблюдаемых величин в квантовой механике и вычисляет их коммутаторы
описывает процедуру измерения в квантовой механике и ее результаты
записывает стационарное и нестационарное уравнения Шредингера, записывает связь между решениями этих уравнений
формулирует принцип тождественности частиц и обосновывает вытекающую из него симметрию или антисимметрию волновых функций
описывает основные свойства решений уравнения Шредингера для гармонического осциллятора и атома водорода
формулирует принцип Паули и записывает определитель Слэтера для многочастичной системы фермионов
формулирует принцип калибровочной инвариантности в квантовой механике
формулирует приближение Хартри-Фока, описывает его физический смысл
формулирует приближение Томаса-Ферми
описывает заполнение электронных состояний в кристалле, дает определение сферы Ферми
формулирует метод функционала плотности
описывает аппарат вторичного квантования для многочастичных систем бозонов и фермионов
формулирует теорему Блоха для электронов в твердом теле
описывает процесс квантования колебаний кристалла в виде фононов
называет основные проявления бозе-конденсации, сверхтекучести и ферромагнетизма
формулирует модель куперовского спаривания в сверхпроводниках
описывает основные свойства двумерных мембран, связанные с их устойчивостью по отношению к тепловым флуктуациям
называет главные особенности электронных свойства графена

Содержание учебной дисциплины

Постулаты квантовой механики. Аппаратквантовой механики
Основные понятия квантовой теории.История создания квантовой механики. Основные экспериментальные данные и основные понятия и эвристические приемы. Основные постулаты и математический аппарат квантовой механики.Гильбертово пространство, векторы состояний. Принцип суперпозиции.Линейные операторы. Собственные значения и собственные вектора. Эрмитовые операторы.Операторы наблюдаемых величин: координата, импульс, момент импульса, спин, коммутационные соотношения между координатой и импульсом, между компонентами спина икомпонентами момента импульса.Уравнения движения для операторов физических величин в квантовой механике. Аналогия с классическим уравнением Лиувилля.Соотношение неопределенностей: вывод соотношения неопределенностей для любойпары операторов, соотношения неопределенности для координаты и импульса.Процедура измерения, результаты измерения. Копенгагенская интерпретация квантовоймеханики. Принцип дополнительности. Многомировая интерпретация квантовой механики.Квантовая запутанность. Шредингеровский кот. Кубиты. Квантовая телепортацияУравнение Шредингера. Стационарное и нестационарное уравнения Шредингера.Разложение решения нестационарного уравнения по собственным функциям гамильтониана. Плотность и ток вероятности, вывод уравнения непрерывности для плотностивероятности.Принцип тождественности частиц. Оператор перестановки пары частиц, инвариантностьгамильтониана к перестановкам, эрмитовость и унитарность оператора перестановки, егособственные значения.Симметричные и антисимметричные по перестановкам волновые функции. Бозоны ифермионы.
Теория простейших квантовых систем.
Простейшие квантово‐механические модели и эффекты. Точные решения иприближенные методы.Гармонический осциллятор.Атом водорода.Потенциальная яма. Условие существования связанного состояния(трехмерная двумерная и одномерная системы). Туннелирование. Квазиклассическое приближение. Квазиклассическое условие квантования уровней.Теория возмущений.Квантовая механика многочастичных систем.Факторизация волновой функции в отсутствие взаимодействия.Симметризация и антисимметризация волновой функции невзаимодействующих частиц.Определитель Слэтера. Принцип Паули. Симметрии координатной и спиновой частейволновой функции двух электронов. Симметрии гамильтониана и законы сохранения физических величин. Аналогия с теоремой Неттер. Примеры‐ пространственная однородность и закон сохранения импульса, изотропия и закон сохранения момента импульса. Квантовые системы во внешнем электромагнитном поле.Калибровочная инвариантность уравнения Шредингера. Уравнения Максвелла, скалярный и векторный потенциал. Калибровочные преобразования. Гамильтониан частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем, изменение волновой функциипри калибровочном преобразовании, вывод калибровочной инвариантности уравненияШредингера. Эффект Ааронова-Бома. Квантовая механика и топология.Квазиклассическое описание. Топологический характер эффекта.Состояния частицы в кольцевой потенциальной яме с бесконечно высокими стенками,обернутой вокруг соленоида.Многочастичные системы и приближенные методы расчета. Атом гелия. Многоэлектронные атомы.Приближение Хартри‐Фока. Вариационный принцип. Пробная функция для приближенияХартри‐Фока как определитель Слэтера. Вывод уравнений Хартри‐Фока из условия минимума энергии. Физический смысл кулоновской и обменной энергий. Приближение локальной плотности для электронного газа в медленно меняющемсявнешнем поле. Приближение Томаса‐Ферми. Сферически‐симметричная задача дляуравнения Томаса‐Ферми. Граничные условия для уравнения.Адиабатическое приближение. Молекулы. Приближение Борна‐Опенгеймера.Общее понятие об образовании химической связи (на примере молекулы водорода). Электронный газ в кристаллах. Электронные состояния в кубическом ящике с периодическими граничными условиями. Заполнение электронных состояний. Сфера Ферми.Связь электронной плотности с импульсом и энергией Ферми. Метод функционала плотности.Выражение для электронной плотности через волновую функцию многочастичной системы.Теорема Хоэнберга‐Кона об однозначности энергии как функционала от плотности (сдоказательством).Минимизация функционала при условии заданного числа частиц. Приближение локальной плотности для функционала.Методе Кона‐Шэма. Выражение для кон‐шэмовского эффективного потенциала. Уравнения Кона‐Шэма, итерационная схема их решения. Метод вторичного квантования.Операторы рождения и уничтожения кванта колебаний в гармоническом осцилляторе.Пространство Фока, волновые функции для систем бозонов и фермионов, соответствующие векторам пространства Фока в представлении чисел заполнения. Матричные элементы одночастичных и двухчастичных операторов в обкладках таких состояний.Операторы рождения и уничтожения для бозонов и фермионов, их действие на векторы пространства Фока, коммутационные и антикоммутационные соотношения между ними, перевод одночастичных и двухчастичных операторов в представление вторичногоквантования. Применения метода вторичного квантования: Операторы поля, коммутационные соотношения между ними, гамильтониан в представлении вторичного квантования, гамильтониан пространственно однородной системы электронов с кулоновским взаимодействием в представлении операторов частиц в состояниях с определенным импульсом. Приближение Хартри‐Фока для однородной системы на языке вторичного квантования.
Квантовые эффектыв физике твердого тела и наноструктурах
Квантовые эффекты в физике твердого тела.Симметрия кристаллов. Теорема Блоха. Квазиимпульс. Электронная структура твердыхтел.Блоховские осцилляции и штарковская лестница. Лазер на штарковской лестнице. Кристаллическая решетка и фононы.Квантование колебаний кристаллической решетки: разложение смещений атомов изположений равновесия по операторам фононов, гамильтониан фононов, линейная цепочка атомов –диагонализация гамильтониана и нахождение дисперсии фононов.Модель «желе» для продольно‐поляризованных фононов. Деформационный потенциал, взаимодействие фононов с электронами в модели «желе». Коллективные явления в физике твердого тела. Бозе‐конденсация и сверхтекучесть бозе‐систем.Магнетизм. Диа‐, пара‐ и ферромагнетизм. Диамагнетизм Ланжевена. Парамагнетизм Ван Флека.Сверхпроводимость.Основные экспериментальные результаты. Идеальная проводимость. Эффект Мейснера.Феноменологическое описание сверхпроводимости.Спаривание электронов. Природа сил притяжения между электронами в кристалле.Модель Купера. Микроскопическая теория сверхпроводимости БКШ.Эффект Джозефсона. Сверхтекучесть ферми‐газа. Квантовые явления в новых наноструктурах.Теорема Ландау и Пайерлса. Специфика двумерных кристаллов и их плавления.Разрешенный парадокс о существования мембран. Мембраны как новый класс материалов.Открытие графена. Фаза Берри в графене. Клейновское туннелирование в графене. Новые двумерные материалы. Открытие топологических диэлектриков. Топологические инварианты.

Элементы контроля

Домашнее задание
Работа на семинарах
Экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.3 * Работа на семинарах + 0.7 * Экзамен

Программа дисциплины