• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Дифференциальные уравнения

Направление: 38.03.01. Экономика
Кто читает: Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ
Когда читается: 3-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Преподаватели: Солодовников Никита Алексеевич, Щуров Илья Валерьевич
Язык: русский
Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина Дифференциальные уравнения обеспечивает подготовку слушателей по одной из фундаментальных математических дисциплин, являющейся мощным орудием исследования многих задач естествознания и экономических дисциплин. Изучение дисциплины «Дифференциальные уравнения» базируется на следующих дисциплинах: · математический анализ-1 · линейная алгебра · математический анализ-2 Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: · знать методы дифференцирования функций; · знать методы работы с простейшими интегралами;
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целью освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения» познакомить студентов с широким кругом идей и методов решения и анализа дифференциальных уравнений.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знает определения основных понятий теории дифференциальных уравнений
  • Знает доказательства основных теорем теории дифференциальных уравнений
  • Знает примеры приложения теории дифференциальных уравнений к экономическим и естественнонаучным задачам
  • Может решать основные типы дифференциальных уравнений
  • Может строить фазовые портреты дифференциальных уравнений
  • Может исследовать качественные свойства дифференциальных уравнений
  • Владеет навыками численного решения дифференциальных уравнений
  • Владеет навыками анализа естественнонаучных задач с помощью дифференциальных уравнений
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Понятие дифференциального уравнения.
    Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям. Экспоненциальный рост населения, модель Солоу, простейшие механические системы.
  • Простейшие примеры дифференциальных уравнений в размерности 1.
    Задача Коши. Формула Барроу. Расширенное фазовое пространство. Интегральные кривые. Поле направлений. Дифференциальные 1-формы.
  • Многомерные фазовые пространства.
    Фазовые кривые, фазовые портреты. Прямое произведений уравнений. Связь автономных уравнений в размерности 2 с неавтономными в размерности 1. Уравнения с разделяющимися переменными.
  • Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (без доказательства).
  • Уравнения в полных дифференциалах.
    Производная функции вдоль векторного поля производная Ли). Первые интегралы. Теорема о выпрямлении векторного поля в окрестности неособой точки.
  • Многомерные фазовые пространства.
    Фазовые кривые, фазовые портреты. Прямое произведений уравнений. Связь автономных уравнений в размерности 2 с неавтономными в размерности 1. Уравнения с разделяющимися переменными.
  • Консервативные системы с одной степенью свободы
  • Линейные уравнения в размерности 1 с переменными коэффициентами.
    Метод вариации постоянных. Уравнения в вариациях по начальному условию.
  • Линейные системы с постоянными коэффициентами в произвольной размерности. Общие свойства.
  • Классификация особых точек системы линейных уравнений с двумя переменными.
  • Матричная экспонента.
    Решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами в произвольной размерности.
  • Линеаризация нелинейных систем вблизи особых точек.
  • Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Теорема об устойчивости по первому приближению (без доказательства).
  • Мягкие и жесткие модели. Структурная устойчивость. Понятие о бифуркациях. Примеры: седлоузловая бифуркация, бифуркация Андронова — Хопфа.
  • Предельные циклы. Отображение Пуанкаре. Устойчивость предельных циклов. 16-проблема Гильберта (формулировка).
  • Дифференциальные уравнения на двумерном торе. Плотная обмотка тора.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашние задания
  • неблокирующий Самостоятельные
  • неблокирующий Мидтерм
    Мидтерм проводится в письменной форме в течение 80-120 минут. В ходе выполнения работы допускается использование простых калькуляторов (не позволяющих строить графики функций) и листа A4, на котором студент может заранее собственноручно сделать любые необходимые ему для выполнения работы записи (формулы, определения и т.д.) Оценка за мидтерм выставляется по 100-бальной шкале. Переписывание мидтерма не допускается, за исключением случаев пропуска по уважительной причине, подтверждённой документально.
  • неблокирующий Финальная контрольная
  • неблокирующий Дополнительные задания
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.3 * Домашние задания + 0.25 * Мидтерм + 0.1 * Самостоятельные + 0.35 * Финальная контрольная
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Высшая математика : интегралы по мере, дифференциальные уравнения, ряды, Виленкин, И. В., 2011
  • Дифференциальные уравнения : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2006
  • Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. - Дифференциальные уравнения - Издательство "Физматлит" - 2002 - 256с. - ISBN: 978-5-9221-0277-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/48171

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Дифференциальные уравнения : учебник для вузов, Тихонов, А. Н., 2002