• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Дифференциальные уравнения

Направление: 38.03.01. Экономика
Кто читает: Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ
Когда читается: 3-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Преподаватели: Щуров Илья Валерьевич
Язык: русский
Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина "Дифференциальные уравнения" обеспечивает подготовку слушателей по одной из фундаментальных математических дисциплин, являющейся мощным орудием исследования многих задач естествознания и экономических дисциплин.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целью освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения» познакомить студентов с широким кругом идей и методов решения и анализа дифференциальных уравнений.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знает определения основных понятий теории дифференциальных уравнений
  • Знает доказательства основных теорем теории дифференциальных уравнений
  • Знает примеры приложения теории дифференциальных уравнений к экономическим и естественнонаучным задачам
  • Может решать основные типы дифференциальных уравнений
  • Может строить фазовые портреты дифференциальных уравнений
  • Может исследовать качественные свойства дифференциальных уравнений
  • Владеет навыками численного решения дифференциальных уравнений
  • Владеет навыками анализа естественнонаучных задач с помощью дифференциальных уравнений
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Понятие дифференциального уравнения.
    Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям. Экспоненциальный рост населения, модель Солоу, простейшие механические системы.
  • Простейшие примеры дифференциальных уравнений в размерности 1.
    Задача Коши. Формула Барроу. Расширенное фазовое пространство. Интегральные кривые. Поле направлений. Дифференциальные 1-формы.
  • Многомерные фазовые пространства.
    Фазовые кривые, фазовые портреты. Прямое произведений уравнений. Связь автономных уравнений в размерности 2 с неавтономными в размерности 1. Уравнения с разделяющимися переменными.
  • Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (без доказательства).
  • Уравнения в полных дифференциалах.
    Производная функции вдоль векторного поля производная Ли). Первые интегралы. Теорема о выпрямлении векторного поля в окрестности неособой точки.
  • Многомерные фазовые пространства.
    Фазовые кривые, фазовые портреты. Прямое произведений уравнений. Связь автономных уравнений в размерности 2 с неавтономными в размерности 1. Уравнения с разделяющимися переменными.
  • Консервативные системы с одной степенью свободы
  • Линейные уравнения в размерности 1 с переменными коэффициентами.
    Метод вариации постоянных. Уравнения в вариациях по начальному условию.
  • Линейные системы с постоянными коэффициентами в произвольной размерности. Общие свойства.
  • Классификация особых точек системы линейных уравнений с двумя переменными.
  • Матричная экспонента.
    Решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами в произвольной размерности.
  • Линеаризация нелинейных систем вблизи особых точек.
  • Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Теорема об устойчивости по первому приближению (без доказательства).
  • Мягкие и жесткие модели. Структурная устойчивость. Понятие о бифуркациях. Примеры: седлоузловая бифуркация, бифуркация Андронова — Хопфа.
  • Предельные циклы. Отображение Пуанкаре. Устойчивость предельных циклов. 16-проблема Гильберта (формулировка).
  • Дифференциальные уравнения на двумерном торе. Плотная обмотка тора.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашние задания
  • неблокирующий Самостоятельные
  • неблокирующий Мидтерм
    Мидтерм проводится в письменной форме в течение 80-120 минут. В ходе выполнения работы допускается использование простых калькуляторов (не позволяющих строить графики функций) и листа A4, на котором студент может заранее собственноручно сделать любые необходимые ему для выполнения работы записи (формулы, определения и т.д.) Оценка за мидтерм выставляется по 100-бальной шкале. Переписывание мидтерма не допускается, за исключением случаев пропуска по уважительной причине, подтверждённой документально.
  • неблокирующий Финальная контрольная
    Экзамен будет проводиться с использованием онлайн прокторинга на платформе ZOOM. Будет производиться запись конференции. При возникновении подозрений на нарушение норм академической этики администрация оставляет за собой право принятия решения о наличии нарушения на основании просмотра записи. До начала экзамена вам потребуется подготовить 2 устройства: то, на котором будет запущена конференция и то, с которого вы будете читать задание. Перед входом в конференцию установите устройство с камерой таким образом, чтобы в кадр попадали вы, рабочий стол с листом, где вы записываете ответы и экран устройства, с которого вы читаете задания. Внимание! Каждый студент должен в начале своей работы от руки написать следующую фразу: Настоящим подтверждаю, что я, Ф.И.О., внимательно изучил и понял все требования к данной контрольной работе и готов их выполнить. Подпись, расшифровка, число После этого можете начинать выполнять работу. Работы без данной подписи приниматься не будут. Общие правила  При входе в конференцию укажите ваше имя и фамилию  Отключите уведомления всех мессенджеров и социальных сетей на устройстве, с которого вы читаете задание и на устройстве, с которого производится запись. Наличие всплывающих уведомлений может быть расценено как попытка общения  Поскольку экзамен проводится в режиме, где микрофон включен у всех участников, позаботьтесь о том, чтобы в комнате, где вы пишете работу, не было посторонних, отвлекающих шумов: телевизора, громких бытовых приборов и др. Отключите звук телефона, будильники Недопустимо  Использование любых материалов кроме листа, где вы записываете ответы, черновика, материалов, разрешенных условиями экзамена  Наличие в кадре или за кадром посторонних людей  Общение в любой форме, за исключением общения с проктором  Выходить из кадра во время экзамена  Отключать камеру и микрофон во время экзамена  Наличие на рабочем столе каких-либо книг, распечаток, документов, таблиц, кроме листа, на котором вы записываете ответы и черновика.  Наличие на устройстве, с которого вы читаете задание любых открытых окон, кроме окна с заданием и вкладки с формой вопросов к проктору  Использование наушников и smart-часов Проктор  В каждой виртуальной комнате будет работать проктор  Перед началом экзамена проктор попросит вас продемонстрировать в кадре листы для записей и черновиков, разрешенные условиями экзамена материалы, если они предусмотрены  Проктор может попросить вас продемонстрировать листы для записи ответов, черновик или экран устройства с заданием в любой момент экзамена, обратившись к вам по имени, используя микрофон  Открывать задание в my.nes можно строго после команды проктора. Отсчет времени экзамена начинается с этого момента  Проктор будет сообщать вам сколько времени осталось до конца экзамена. Как задавать вопросы  Перед началом контрольной на вашу электронную почту придет ссылка на гугл-форму, в которой вы можете задать вопросы Илье.  Для перехода по ссылке поднимите руку (вашу руку в кадре) и дождитесь ответа от проктора  Перейдите в форму по ссылке, задайте вопрос. Перед вопросом напечатайте вашу фамилию. Дождитесь ответа в форме  Вернитесь на вкладку с открытым заданием Как загружать работу  После команды проктора о завершении экзамена, вам будет выделено время на загрузку работы в my.nes  После команды проктора об окончании работы, у вас будет 10 минут для ее сканирования и загрузки в my.nes, сделать это можно отключившись от трансляции.  Работы, загруженные позднее 10 минут, приниматься к проверке не будут.  Если у вас возникнут технические проблемы с загрузкой в my.nes, просим отправить на электронную почту Екатерине Антоновой или Людмиле Медведевой в этот же промежуток времени.  Файл работы должен быть четким и хорошо читаемым  Работы в нечитаемом формате приниматься к проверке не будут  Файл должен называться вашей фамилией и именем: Фамилия_Имя
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.2 * Домашние задания + 0.3 * Мидтерм + 0.1 * Самостоятельные + 0.4 * Финальная контрольная
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Высшая математика : интегралы по мере, дифференциальные уравнения, ряды, Виленкин, И. В., Гробер, В. М., 2011
  • Дифференциальные уравнения : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., Моденов, В. П., 2006

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Дифференциальные уравнения : учебник для вузов, Тихонов, А. Н., Васильева, А. Б., 2002