Бакалавриат
2020/2021
Дифференциальные уравнения
Статус:
Курс по выбору (Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ)
Направление:
38.03.01. Экономика
Кто читает:
Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ
Где читается:
Факультет экономических наук
Когда читается:
2-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения:
без онлайн-курса
Преподаватели:
Солодовников Никита Алексеевич,
Щуров Илья Валерьевич
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
64
Программа дисциплины
Аннотация
Дисциплина Дифференциальные уравнения обеспечивает подготовку слушателей по одной из фундаментальных математических дисциплин, являющейся мощным орудием исследования многих задач естествознания и экономических дисциплин. Изучение дисциплины «Дифференциальные уравнения» базируется на следующих дисциплинах: · математический анализ-1 · линейная алгебра · математический анализ-2 Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: · знать методы дифференцирования функций; · знать методы работы с простейшими интегралами;
Цель освоения дисциплины
- Целью освоения дисциплины «Дифференциальные уравнения» познакомить студентов с широким кругом идей и методов решения и анализа дифференциальных уравнений.
Планируемые результаты обучения
- Знает определения основных понятий теории дифференциальных уравнений
- Знает доказательства основных теорем теории дифференциальных уравнений
- Знает примеры приложения теории дифференциальных уравнений к экономическим и естественнонаучным задачам
- Может решать основные типы дифференциальных уравнений
- Может строить фазовые портреты дифференциальных уравнений
- Может исследовать качественные свойства дифференциальных уравнений
- Владеет навыками численного решения дифференциальных уравнений
- Владеет навыками анализа естественнонаучных задач с помощью дифференциальных уравнений
Содержание учебной дисциплины
- Понятие дифференциального уравнения.Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям. Экспоненциальный рост населения, модель Солоу, простейшие механические системы.
- Простейшие примеры дифференциальных уравнений в размерности 1.Задача Коши. Формула Барроу. Расширенное фазовое пространство. Интегральные кривые. Поле направлений. Дифференциальные 1-формы.
- Многомерные фазовые пространства.Фазовые кривые, фазовые портреты. Прямое произведений уравнений. Связь автономных уравнений в размерности 2 с неавтономными в размерности 1. Уравнения с разделяющимися переменными.
- Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения (без доказательства).
- Уравнения в полных дифференциалах.Производная функции вдоль векторного поля производная Ли). Первые интегралы. Теорема о выпрямлении векторного поля в окрестности неособой точки.
- Многомерные фазовые пространства.Фазовые кривые, фазовые портреты. Прямое произведений уравнений. Связь автономных уравнений в размерности 2 с неавтономными в размерности 1. Уравнения с разделяющимися переменными.
- Консервативные системы с одной степенью свободы
- Линейные уравнения в размерности 1 с переменными коэффициентами.Метод вариации постоянных. Уравнения в вариациях по начальному условию.
- Линейные системы с постоянными коэффициентами в произвольной размерности. Общие свойства.
- Классификация особых точек системы линейных уравнений с двумя переменными.
- Матричная экспонента.Решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами в произвольной размерности.
- Линеаризация нелинейных систем вблизи особых точек.
- Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Теорема об устойчивости по первому приближению (без доказательства).
- Мягкие и жесткие модели. Структурная устойчивость. Понятие о бифуркациях. Примеры: седлоузловая бифуркация, бифуркация Андронова — Хопфа.
- Предельные циклы. Отображение Пуанкаре. Устойчивость предельных циклов. 16-проблема Гильберта (формулировка).
- Дифференциальные уравнения на двумерном торе. Плотная обмотка тора.
Элементы контроля
- Домашние задания
- Самостоятельные
- МидтермМидтерм проводится в письменной форме в течение 80-120 минут. В ходе выполнения работы допускается использование простых калькуляторов (не позволяющих строить графики функций) и листа A4, на котором студент может заранее собственноручно сделать любые необходимые ему для выполнения работы записи (формулы, определения и т.д.) Оценка за мидтерм выставляется по 100-бальной шкале. Переписывание мидтерма не допускается, за исключением случаев пропуска по уважительной причине, подтверждённой документально.
- Финальная контрольная
- Дополнительные задания
Промежуточная аттестация
- Промежуточная аттестация (4 модуль)0.3 * Домашние задания + 0.25 * Мидтерм + 0.1 * Самостоятельные + 0.35 * Финальная контрольная
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Высшая математика : интегралы по мере, дифференциальные уравнения, ряды, Виленкин, И. В., 2011
- Дифференциальные уравнения : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2006
- Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. - Дифференциальные уравнения - Издательство "Физматлит" - 2002 - 256с. - ISBN: 978-5-9221-0277-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/48171
Рекомендуемая дополнительная литература
- Дифференциальные уравнения : учебник для вузов, Тихонов, А. Н., 2002