• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Введение в теорию чисел

Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)
Направление: 01.03.01. Математика
Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: с онлайн-курсом
Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык: русский
Кредиты: 5

Программа дисциплины

Аннотация

Теория чисел состоит из множества разнообразных вопросов и методов их исследования. Предварительная подготовка: Для понимания курса требуется знание предметов первого курса бакалавриата: стандартные курсы алгебры, анализа, геометрии, комбинаторики и топологии). Для студентов ОП Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ - ЦПМ, и как курс по выбору - для студентов других образовательных программ, включая магистратуру.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Курс содержит две части. Первая часть посвящена подробному изучению элементарной теории чисел с использованием инструментов высшей математики. Вторая часть даст слушателям представление о возможных направлениях углубления и основных результатах в рамках этих направлений
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знакомство с элементарной теорией чисел с использованием инструментов высшей математики
  • Получение представления о возможных направлениях углубления и основных результатах в рамках направлений первой части курса
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Делимость и простые числа
    Евклидовы кольца ℤ и ℤ [i]. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД. Основная теорема арифметики. p-показатели. Лемма об уточнении степени. Постулат Бертрана.
  • Кольца вычетов по модулю
    Обратимые вычеты. Теорема Вильсона. Функция Эйлера и её свойства. Теорема Эйлера. Китайская теорема об остатках. Теорема Шевалле. Примитивные вычеты. Квадратичные вычеты (критерий Эйлера, квадратичный закон взаимности Гаусса).
  • Цепные (непрерывные) дроби
    Свойства цепных дробей. Приближение иррациональных чисел рациональными. Цепные дроби квадратичных иррациональностей.
  • Задачи на решётках
    Формула Пика. Теорема Блихфельда. Лемма Минковского. Теорема Кронекера. Равномерно распределённые последовательности. Теорема Ван-дер-Вардена.
  • Многочлены над ℤ
    Неприводимые многочлены. Лемма Гаусса. Признак Эйзенштейна. Признак Дюма.
  • Диофантовы уравнения
    Линейные диофантовы уравнения. Методы решения нелинейных диофантовых уравнений: метод остатков, метод разложений, метод оценок, метод спуска. Пифагоровы тройки. Уравнения Пелля. Суммы двух квадратов. Суммы четырёх квадратов.
  • Основы алгебраической теории чисел
    Конечные расширения ℚ. Лемма о простом расширении. Кольцо целых. Поле алгебраических чисел . Алгебраическая замкнутость A. Теорема Лиувилля. Теорема Линдемана (б/д). Трансцендентность π и e.
  • Основы аналитической теории чисел
    Гамма-функция Эйлера. Дзета-функция Римана. Ряды Дирихле, теорема Дирихле об арифметических прогрессиях (б/д). Теорема Чебышёва о распределении простых чисел.
  • Основы комбинаторной теории чисел
    Теорема Коши–Дэвенпорта. Теорема Плюннеке–Ружа. Теорема Семереди (б/д). Теорема Грина–Тао (б/д).
  • p-адические числа
    Неархимедовы нормы в ℚ и пополнения ℚ по ним. Кольцо ℤp и его свойства. Лемма Гензеля
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий аудиторная работа
  • неблокирующий коллоквиум
  • неблокирующий экзамен
  • неблокирующий контрольная работа
  • неблокирующий аудиторная работа
  • неблокирующий коллоквиум
  • неблокирующий экзамен
  • неблокирующий контрольная работа
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0,3*(Окр1 +Окр2))+0,4* (среднее за три лучшие оценки по Теоретическим контрольным)+0,5*(коллоквиум)
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Прасолов В.В. - Многочлены - Московский центр непрерывного математического образования - 2003 - 336с. - ISBN: 5-94057-077-1 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9392