Бакалавриат
2020/2021
Введение в теорию чисел
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Статус:
Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)
Направление:
01.03.01. Математика
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения:
с онлайн-курсом
Язык:
русский
Кредиты:
5
Контактные часы:
100
Программа дисциплины
Аннотация
Теория чисел состоит из множества разнообразных вопросов и методов их исследования. Предварительная подготовка: Для понимания курса требуется знание предметов первого курса бакалавриата: стандартные курсы алгебры, анализа, геометрии, комбинаторики и топологии). Для студентов ОП Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ - ЦПМ, и как курс по выбору - для студентов других образовательных программ, включая магистратуру.
Цель освоения дисциплины
- Курс содержит две части. Первая часть посвящена подробному изучению элементарной теории чисел с использованием инструментов высшей математики. Вторая часть даст слушателям представление о возможных направлениях углубления и основных результатах в рамках этих направлений
Планируемые результаты обучения
- Знакомство с элементарной теорией чисел с использованием инструментов высшей математики
- Получение представления о возможных направлениях углубления и основных результатах в рамках направлений первой части курса
Содержание учебной дисциплины
- Делимость и простые числаЕвклидовы кольца ℤ и ℤ [i]. Алгоритм Евклида. Линейное представление НОД. Основная теорема арифметики. p-показатели. Лемма об уточнении степени. Постулат Бертрана.
- Кольца вычетов по модулюОбратимые вычеты. Теорема Вильсона. Функция Эйлера и её свойства. Теорема Эйлера. Китайская теорема об остатках. Теорема Шевалле. Примитивные вычеты. Квадратичные вычеты (критерий Эйлера, квадратичный закон взаимности Гаусса).
- Цепные (непрерывные) дробиСвойства цепных дробей. Приближение иррациональных чисел рациональными. Цепные дроби квадратичных иррациональностей.
- Задачи на решёткахФормула Пика. Теорема Блихфельда. Лемма Минковского. Теорема Кронекера. Равномерно распределённые последовательности. Теорема Ван-дер-Вардена.
- Многочлены над ℤНеприводимые многочлены. Лемма Гаусса. Признак Эйзенштейна. Признак Дюма.
- Диофантовы уравненияЛинейные диофантовы уравнения. Методы решения нелинейных диофантовых уравнений: метод остатков, метод разложений, метод оценок, метод спуска. Пифагоровы тройки. Уравнения Пелля. Суммы двух квадратов. Суммы четырёх квадратов.
- Основы алгебраической теории чиселКонечные расширения ℚ. Лемма о простом расширении. Кольцо целых. Поле алгебраических чисел . Алгебраическая замкнутость A. Теорема Лиувилля. Теорема Линдемана (б/д). Трансцендентность π и e.
- Основы аналитической теории чиселГамма-функция Эйлера. Дзета-функция Римана. Ряды Дирихле, теорема Дирихле об арифметических прогрессиях (б/д). Теорема Чебышёва о распределении простых чисел.
- Основы комбинаторной теории чиселТеорема Коши–Дэвенпорта. Теорема Плюннеке–Ружа. Теорема Семереди (б/д). Теорема Грина–Тао (б/д).
- p-адические числаНеархимедовы нормы в ℚ и пополнения ℚ по ним. Кольцо ℤp и его свойства. Лемма Гензеля
Элементы контроля
- аудиторная работа
- коллоквиум
- экзамен
- контрольная работа
- аудиторная работа
- коллоквиум
- экзамен
- контрольная работа