Применение вариационного исчисления в задачах современного математичского моделирования

Бакалавриат 2020/2021

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика)

Направление: 01.03.04. Прикладная математика

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 3-й курс, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Будков Юрий Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 40

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

В рамках предлагаемого курса будут представлены основы вариационного исчисления, а также его приложения к различным задачам математического моделирования. Особое внимание будет уделено понятиям функционала, вариации функционала и вариационной производной. На основе аналогии с экстремумом функции нескольких переменных будет введено понятие экстремума функционала и экстремали, а также доказаны основные теоремы. Будет изложена теория условного экстремума функционала. В качестве приложений вариационного исчисления будут рассмотрены задачи классической механики, теории поля, теории упругости, оптики и др.

Цель освоения дисциплины

Цель дисциплины состоит в ознакомлении студентов с основами классического вариационного исчисления и применениями его методов к задачам, возникающим в приложениях, таких как механика, теория поля, физика кооперативных явлений (устойчивость и фазовые переходы) и т.д.

Планируемые результаты обучения

Умение вычислять вариационные (функциональные) производные функционала зависящего от первой производной функции одной перменной. Получать уравнение Эйлера-Лагранжа по заданному функционалу. Находить условный экстремум функционала методом Лагранжа.
Вычислять вариационную производную функционала, зависящего от старших производных функции одной переменной.
Применять вариационный принцип экстремального действия к решению задач механики систем многих тел.
Выводить уравнения колебания струны и мембраны из вариационного принципа.

Содержание учебной дисциплины

Применение вариационного исчисления в задачах современного математического моделирования
Понятие функционала. Функциональные пространства. Вариация функционала и аналогия с дифференциалом функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера-Лагранжа. Принцип стационарного действия в механике и его применение к конкретным задачам механики. Вариационная (функциональная) производная. Инвариантность уравнения Эйлера-Лагранжа. Вторая вариация. Условие Лежандра. Условный экстремум функционала. Метод Лагранжа. Функционалы зависящие от производных высших порядков. Вариационные задачи с частными производными. Функционалы полей. Принцип стационарного действия в теории поля. Применение вариационного исчисления в статистической физике кооперативных явлений. Теория фазовых переходов Гинзбурга-Ландау.

Элементы контроля

Контрольная работа
Письменный экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
Результирующая оценка определяется следующим соотношением Oрез=0.4*Oкр+0.6*Oэкз, где Oкр и Oэкз оценки за контрольную работу и за экзамен соответственно.

Программа дисциплины