Магистратура 2020/2021

Интегрируемые системы 1

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс по выбору

Направление: 03.04.02. Физика

Кто читает: Департамент физики

Где читается: Санкт-Петербургская школа физико-математических и компьютерных наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Деркачев Сергей Эдуардович

Прогр. обучения: Теоретическая и математическая физика

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 26

Программа дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Интегрируемые системы 1» является введение в теорию и практические задачи теории классических интегрируемых систем. Предполагается знакомство с основными результатами данной теории, методами построения и описания интегрируемых систем, описанием свойств решений дифференциальных, дифференциально-разностных и разностных интегрируемых уравнений. Обсуждаются вопросы точных решений нелинейных дифференциальных уравнений, появление которых мотивировано разными физическими моделями. Строятся солитонные решения, обсуждаются их физическая интерпретация.

Цель освоения дисциплины

• Целью освоения дисциплины «Интегрируемые системы I» является знакомство обучающихся с классическими интегрируемыми системами и методам работы с ними.

Планируемые результаты обучения

• Знает основные теоремы МОЗ, владеет понятиями пары Лакса и r-матрицы.
• Умеет получать солитонные решения уравнения КдФ.
• Применяет метод обратной задачи к НУШ. Ищет солитонные решения в быстроубывающем случае.
• Находит r-матрицу для модели синус-Гордон.
• Умеет строить лаксову пару для цепочки Тоды.
• Умеет строить r-матрицу для модели Калоджеро-Мозера.

Содержание учебной дисциплины

• Тема 1. Метод обратной задачи
  Метод обратной задачи. Основные понятия. Пара Лакса. R-матрица. Классическое уравнение Янга-Бакстера. Алгебраический смысл уравнения Янга-Бакстера.
• Тема 2. Решения уравнения КдФ.
  Уравнение КдФ. Гамильтонова структура и алгебра Вирасоро. Переменные действие-угол. Солитонные решения. Конечнозонные решения.
• Тема 3. Нелинейное уравнение Шрёдингера.
  Условие нулевой кривизны для НУШ. Матрица монодромии, локальные интегралы движения. Решения Йоста. Солитонные решения.
• Тема 4. Модель синус-Гордон.
  Модель синус-Гордон как модель квантовой теории поля. Лаксова пара. Солитонные решения.
• Тема 5. Цепочка Тоды.
  Цепочка Тоды. Уравнение Лиувилля, связь с теорией поля. Конформная структура, гамильтонова формулировка. Одевающие преобразования.
• Тема 6. Модель Калоджеро-Мозера.
  Лаксова пара для модели Калоджеро-Мозера. Скалярная модель. Симплектическая структура. Система Хитчина.

Элементы контроля

• Экзамен
• Домашнее задание

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.5 * Домашнее задание + 0.5 * Экзамен

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Babelon, O., Bernard, D., & Talon, M. (2003). Introduction to Classical Integrable Systems. Cambridge: Cambridge University Press. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=120350

Рекомендуемая дополнительная литература

• Cushman, R. H., & Bates, L. M. (2015). Global Aspects of Classical Integrable Systems: Vol. Second edition. Birkhäuser.