Научно-исследовательский семинар "Контактная топология и инварианты Лежандровых узлов"

2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Международная лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Преподаватели: Пушкарь Петр Евгеньевич, Яковлев Иван Андреевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 60

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Трехмерная контактная топология - активно развивающаяся область современной математики, в которой в последние тридцать лет произошел существенный прогресс. Очень много сильных теорем было доказано, и на некоторые вопросы были получены исчерпывающие ответы. Это связано с развитием нескольких мощных техник: h-принцип и принцип стабильности, теория J-голоморфных кривых, теория выпуклых поверхностей и разложений открытой книги. Часть из них имеет смысл во всех размерностях и даже обобщается на симплектическую топологию, но работает там гораздо хуже, часть специфична для размерности 3. Хотя существует несколько учебников, где фундаментальные факты контактной топологии изложены очень хорошо, современные результаты можно найти либо в оригинальных статьях, либо в разрозненных обзорах и записках лекций. Кроме того, часть технического аппарата довольно тяжелая. Это относится в первую очередь к теории выпуклых поверхностей, в которой при всей ее наглядности сложно разобраться, не повторив доказательства у доски. На нашем семинаре мы хотим разобрать основные теоремы контактной топологии, вникая в технические детали доказательств. Предполагается, что слушатели тоже будут делать доклады. Трехмерное контактное многообразие это многообразие с выделенным коориентируемым максимально неинтегрируемым распределением двумерных поверхностей. Таких многообразий много - например, по римановой поверхности можно построить контактное многообразие единичных кокасательных векторов, каждая выпуклая гиперповерхность в штейновой поверхности снабжается контактной структурой. Стартуя с контактного многообразия, можно построить новые- для контактных многообразий определены операции хирургии. Самым важным примером контактного многообразия является \mathbb{R}^3 со стандартной контактной структурой \xi_{st}. Кривая в контактном многообразии называется Лежандровой, если она касается контактного распределения в каждой точке. С возникновения контактной топологии известны так называемые классические инварианты Лежандровых узлов (число Терстона-Беннекена и число вращения). Первая задача нашего курса - разобрать результаты классификации Лежандровых узлов в (\mathbb{R}^3,\xi_{st}) с точки зрения классических инвариантов - понять, какие значения могут принимать эти инварианты, когда гладко изотопные узлы с равными классическими инвариантами изотопны как Лежандровы узлы. Другая задача контактной топологии - классификация контактных структур на данном многообразии. В отличие от, например, симплектической геометрии, контактные структуры не образуют пространств модулей. Теорема стабильности гарантирует, что их множество дискретно, и большом числе примеров это множество можно полностью описать. Оказывается, что классификация структур тесно связана с классификацией узлов. Она начинается с разделения всевозможных контактных многообразий на два класса - тугих и перекрученных - и данное контактное многообразие попадает в один из этих двух классов в зависимости от того, какие классические инварианты бывают у незаузленных Лежандровых узлов в нем. Перекрученные контактные структуры были полностью классифицированы Элиашбергом, описание множества тугих контаткных структур - важная и сложная задача.

Цель освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины является овладение комбинаторными и аналитическими техниками в контактной топологии. Мы затронем несколько тем из современной симплектической геометрии. Будут разобраны как классические, так и самые современные результаты. Семинар будет состоять из серий докладов, которые будут прочитаны лекторами, участниками и приглашенными докладчиками.

Планируемые результаты обучения

От студентов требуется освоить определения и научиться работать с обсуждаемыми объектами, понять данные на лекции утверждения и разобрать доказательства

Содержание учебной дисциплины

Базовые определения
Контактные многообразия, Лежандровы узлы. Стандартное контактное пространство.
Локальное описание
Теорема Дарбу-Пфаффа, стандартные координаты на окрестности Лежандрова узлы.
Контактоморфизмы
Поле Риба. Классификация контактных векторных полей. Теоремы стабильности.
1-струи
Пространство 1-струй и производящие функции. Теоремы Чеканова и Витербо.
Пространство контактных элементов.
Сферизация кокасательного расслоения. Геодезический поток.
Трехмерная сфера
Стандартная контактная структура на сфере. Связь с кватернионной геометрией.
Волновые фронты
Лежандрова проекция. Волновой фронт Лежандрова узла. Каспидальные особенности.
Классические инварианты
Комбинаторное и топологическое определения классических инвариантов.
Стабилизация узла
Стабилизация Лежандрова узла. Стабильная простота. Инварианты конечного порядка.
Неклассические инварианты
Теорема о четырех вершинах. Инварианты Пушкаря-Чеканова.

Элементы контроля

Доклад на одной из лекций
Доклад на семинаре

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.7 * Доклад на одной из лекций + 0.3 * Доклад на семинаре

Программа дисциплины