• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Математический анализ

Статус: Курс обязательный (Химия)
Направление: 04.03.01. Химия
Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 7

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение данной дисциплины базируется на знаниях, полученных студентами при освоении школьного курса математики. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин: 1. Дифференциальные уравнения; 2. Теория вероятностей; 3. Профильных химических дисциплин.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • формирование у студентов базовых знаний о методах математического анализа
  • предоставление студентам аналитической базы для изучения последующих математических и специализированных курсов
  • развитие логического мышления и умения оперировать абстрактными объектами, привитие навыков корректного употребления математических понятий и символов для выражения различных количественных и качественных отношений
  • развитие навыка строгих математических рассуждений и доказательств
  • знакомство студентов с программным обеспечением, позволяющим решать задачи математического анализа
  • формирование у студентов навыков применения методов математического анализа в исследовательской деятельности
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • обучающийся должен УМЕТЬ:  дифференцировать элементарные функции и находить производные композиций функций  вычислять интегралы функций одного и нескольких переменных;  исследовать задачи на экстремум с помощью производной;  исследовать ряды на сходимость и находить суммы рядов;  вычислять криволинейные и поверхностные интегралы.
  • обучающийся должен ВЛАДЕТЬ навыками:  исследования прикладных задач с помощью производной и интеграла;  методами исследования непрерывности и дифференцируемости функций и отображений;  методами разложения функций в ряды Тейлора и Фурье;  навыками решения задач на экстремум с помощью производной;  навыками вычисления одномерных и многомерных интегралов.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Производная.
    Производная. Геометрический смысл производной, касательная. Вычисление производных. Производная суммы, произведения, композиции функций. Необходимое условие экстремума. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Если производная всюду положительна, функция строго возрастает. Обратная функция. Логарифм. Производная обратной функции. Старшие производные. Выпуклость. Точки перегиба. Достаточное условие экстремума. Правило Лопиталя (неопределенность 0/0, предел в конечной точке). o-малые и О-большие.
  • Предел функции и непрерывность
    Функции. Определение предела функции в точке (по Коши). Определение предела функции по Гейне. Эквивалентность двух определений предела функции в точке. Односторонние пределы. Предел при x стремящемся к бесконечности (плюс бесконечности, минус бесконечности). Беcконечные пределы. Вертикальные, горизонтальные, наклонные асимптоты. Непрерывность. Непрерывность композиции двух функций. Теорема о промежуточном значении.
  • Множества, числа и последовательности.
    Множества, мощность множества, отображения множеств, счетные и несчетные множества, континуум. Натуральные, рациональные, вещественные числа, цепные дроби. Метод математической индукции, числа сочетаний, бином Ньютона, неравенство Бернулли. Последовательности, их свойства. Монотонность, ограниченность. Определение предела. Примеры последовательностей, не имеющих пределов. Свойства пределов. Если предел существует, последовательность ограничена. Бесконечные пределы. Теорема о двух милиционерах. Предел суммы. Предел произведения. Предел 1/an. Точная верхняя и точная нижняя грань. Подпоследовательности. Предельные точки. Теорема Больцано--Вейерштрасса (у любой ограниченной последовательности есть сходящаяся подпоследовательность). Число e и замечательные пределы.
  • Практикум: введение в производные и интегралы
    Вычисление простейших производны и интегралов. Примеры
  • Числовые ряды.
    Числовые ряды. Признаки сходимости, расходимость гармонического ряда. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость, достаточные условия сходимости
  • Степенные ряды. Ряд Тейлора.
    Степенные ряды. Радиус сходимости, дифференцируемость в интервале сходимости. Представление функций рядами Тейлора в интервале.
  • Интеграл Римана функций одной переменной.
    Первообразная. Определенный интеграл (Римана). Свойства определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных в определенных и неопределенных интегралах. Примеры вычисления интегралов с помощью замены переменных. Интегрирование по частям.
  • Несобственный интеграл.
    Несобственные интегралы. Теорема сравнения для доказательства сходимости несобственных интегралов.
  • Понятие метрического пространства. Норма и расстояние в n-мерном пространстве. Вектор-функции
    Введение в функции нескольких переменных: расстоятние в n-мерном пространстве, прямые, плоскости. Вектор-функции и их производные. Кривые в пространстве.
  • Функции многих переменных. Предел и непрерывность функций многих переменных
    Функции нескольких переменных, линии уровня, примеры. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.
  • Производные функций нескольких переменных
    Частные производные и производная функции нескольких переменных по направлению, геометрический смысл. Градиент.
  • Метод множителей Лагранжа. Условный экстремум.
    Метод множителей Лагранжа (эскиз доказательства для функций двух переменных с одним условием).
  • Отображения. Вектор-функции многих переменных
    Отображения. Вектор-функции многих переменных: обозначения, геометрический смысл. Замена координат (в R2), полярные координаты. Геометрический смысл частных производных
  • Матрица Якоби. Производная композиции. Гессиан.
    Матрица Якоби. Производная композиции. Якобиан. Применение вторых частных производных для определения типа экстремума. Достаточные условия (окаймленный гессиан).
  • Теорема о неявной функции Теорема об обратной функции.
    Теорема о неявной функции для уравнений вида f(x; y) = 0. Теорема об обратной функции.
  • Кратный интеграл. Понятие кратного интеграла по двумерной и трехмерной области. Переход к повторному интегралу: теорема Фубини.
    Кратный интеграл. Понятие кратного интеграла по двумерной и трехмерной области. Переход к повторному интегралу: теорема Фубини. Изменение порядка интегрирования. Объемы тел. Площадь поверхности вращения. Замена переменных в кратном интеграле Формулировка теоремы. Геометрический смысл якобиана.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашние задания
    В течение учебного года планируется 10 домашних работ (4 в первом семестре и 6 во втором семестре)
  • неблокирующий Самостоятельные работы
    В течение учебного года планируется 12 самостоятельных работ (5 в первом семестре и 7 во втором семестре)
  • неблокирующий Контрольная работа
    Планируется две контрольных работы: в конце 1 модуля и в конце 3 модуля.
  • неблокирующий Экзамен
    При проведении экзамена в дистанционном формате следует руководствоваться следующими Правилами проведения экзамена https://docs.google.com/document/d/1wucBt1JL0yWwdWxxyG4jN0PL_fsPE9E_OYlklMOTmlE/edit?usp=sharing
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    В промежуточную аттестацию 2 модуля 1курса промежуточная оценка (ИО1) определяется по формуле: ИОi=0.3* Оэкз+0.27*Окр1+ 0.15*Oдз+0.28*ОКр2, где Оэкз - оценка за экзамен, Окр1, Окр2 - оценка за контрольную работу, Oдз - средняя оценка за домашние задания. В промежуточную аттестацию 2 модуля курса промежуточная оценка (ИО2) определяется по формуле: ИОi=0.35* Оэкз+0.25*Окр+ 0.15*Oдз+0.25*Осам, где Оэкз - оценка за экзамен, Окр - оценка за контрольную работу, Oдз - средняя оценка за два домашних задания и Осам - средняя оценка за самостоятельные работы.
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    В промежуточную аттестацию 4 модуля 1 курса промежуточная оценка (ИО2) определяется по формуле: ИО2=0.5 Оэкз + 0.4 Окр + 0.2 Одз, где Оэкз - оценка за экзамен, Окр - среднее арифметическое за две контрольные, Одз - среднее арифметическое за 4 домашних задания. В 4 модуле 2 курса промежуточная оценка (ИО4) определяется по формуле: ИО4=0.35* Оэкз+0.25*Окр+ 0.15*Oдз+0.25*Осам, где Оэкз - оценка за экзамен, Окр - оценка за контрольную работу, Oдз - средняя оценка за три домашних задания и Осам - средняя оценка за пять самостоятельных работ.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Гурова З.И., Каролинская С.Н., Осипова А.П. - Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами - Издательство "Физматлит" - 2006 - 352с. - ISBN: 5-9221-0328-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2172
  • Иванов О., Климчук С. - Математический анализ для первокурсников - Московский центр непрерывного математического образования - 2014 - 136с. - ISBN: 978-5-4439-2081-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/71822

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Битюков Ю.И., Ильина А.Н., Мартюшова Я.Г. - Математический анализ. Начальный курс с примерами и задачами. Часть 2 - Издательство "Физматлит" - 2015 - 308с. - ISBN: 978-5-9221-1598-8 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/91170
  • Будаев В. Д., Якубсон М.Я. - Математический анализ. Функции одной переменной - Издательство "Лань" - 2012 - 544с. - ISBN: 978-5-8114-1186-3 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/3173
  • Будаев В.Д., Якубсон М.Я. - Математический анализ. Функции нескольких переменных - Издательство "Лань" - 2017 - 456с. - ISBN: 978-5-8114-2595-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/96244