Линейная алгебра и геометрия

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Химия)

Направление: 04.03.01. Химия

Кто читает: Кафедра высшей математики

Где читается: Факультет химии

Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Панов Алексей Андреевич, Панов Петр Алексеевич

Язык: русский

Кредиты: 7

Контактные часы: 132

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Изучение курса «Алгебра и Геометрия» не требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы общеобразовательной средней школы. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов 1-2 курса факультета Химии. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: Теоретическая химия. Статистика. Экономика. Программирование, в частности на языке Python

Цель освоения дисциплины

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Планируемые результаты обучения

владеть: навыками математической формализации задач, уметь выбирать и применять адекватный математический инструментарий при решении конкретных задач; методами проверки правильности решения и оценки эффективности используемых методов; навыками математического моделирования простейших практических задач и проблем, а также навыками содержательной интерпретации получаемых количественных и качественных результатов решений этих задач.

Содержание учебной дисциплины

Пространства R(n) и C(n), матрицы и векторы
Линейные пространства R(n) и C(n) Матрицы и векторы. Основные операции с матрицами и векторами. Квадратная матрица как линейный оператор. Определитель и след квадратной матрицы. Невырожденные матрицы, обратные матрицы. Группа невырожденных матриц GL(n). Скалярное произведение, ортогональные матрицы и ортогональная группа O(n). Прямые суммы подпространств и операторы проектирования. Матричное представление операторов симметрии, поворотов и отражений.
Линейные пространства
Аксиомы. Подпространство. Линейно независимые векторы. Базис и размерность пространства, координатное представление вектора. Линейные отображения. Линейные функционалы. Матрица линейного отображения. Переход к новому базису.
Решение систем линейных уравнений
Метод Гаусса. Общее и частное решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Определитель, методы вычисления определителей. Методы вычислений обратных матриц. Методы решений систем линейных уравнений.
Линейные операторы
Матрица линейного оператора. Замена базиса. Собственные векторы, собственные значения, собственный базис. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. Свойства собственных векторов.
Билинейные и квадратичные формы
Матрица симметричной билинейной формы. Замена базиса. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадратичных форм.
Теория групп
Определение группы. Таблица умножения группы. Примеры групп: циклическая группа, диэдральная группа, группы вращений тетраэдра и куба, группы симметрий тетраэдра и куба, симметрическая группа. Классы сопряженных элементов.
Линейные представления конечных групп
Определения и примеры. Изоморфные представления. Подпредставления. Прямая сумма представлений. Унитарное представление. Приводимые и неприводимые представления. Регулярное представление. Скалярное произведение функций, определенных на группе.
Теория характеров
Определение характера представления. Характер прямой суммы представлений. Лемма Шура. Соотношение ортогональности для характеров. Разложение регулярного представления на неприводимые – основное соотношение для размерностей неприводимых представлений. Число неприводимых представлений группы.
Евклидово пространство и линейные операторы
Скалярное произведение. Ортонормированный базис. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Ортогональный оператор. Унитарный оператор.
Аналитическая геометрия – прямые и плоскости
Вычисление длины вектора и расстояния между точками. Скалярное произведение и угол между векторами. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Угол между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Векторное и смешанное произведение векторов.
Аналитическая геометрия – кривые и поверхности второго порядка
Канонический вид уравнения кривой второго порядка. Инварианты. Центр и главные оси. Вершина и ось параболы. Исследование общего уравнения второго порядка

Элементы контроля

Т.У1: Работа на семинарах 1 (1-2 модуль)
Контрольная работа 1 (2 модуль)
Экзамен 1 (2 модуль)
При проведении экзамена в дистанционном формате следует руководствоваться следующими Правилами проведения экзамена https://docs.google.com/document/d/1Hn-wBHLV3pkVwdcrWpl8TJp3R5z9fOedbg9TZfx3mB4/edit?usp=sharing
Т.У2: Работа на семинарах 2 (3-4 модуль)
Контрольная работа 2 (4 модуль)
Экзамен 2 (4 модуль)

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
I Итоговая оценка за 1-2 модули первого курса: 0.3*(контрольная работа 1) + 0.2 *(Работа на семинарах 1) +0.5 (экзамен 1).
Промежуточная аттестация (4 модуль)
II Итоговая оценка за 3-4 модули первого курса: 0.3*(контрольная работа 2) + 0.2 *(Работа на семинарах 2)+0.5*(экзамен 2).

Программа дисциплины