• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Линейная алгебра и геометрия

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Химия)
Направление: 04.03.01. Химия
Где читается: Факультет химии
Когда читается: 1-й курс, 1-4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Преподаватели: Панов Алексей Андреевич, Панов Петр Алексеевич
Язык: русский
Кредиты: 7
Контактные часы: 132

Программа дисциплины

Аннотация

Изучение курса «Алгебра и Геометрия» не требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы общеобразовательной средней школы. Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов 1-2 курса факультета Химии. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: Теоретическая химия. Статистика. Экономика. Программирование, в частности на языке Python
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • владеть: навыками математической формализации задач, уметь выбирать и применять адекватный математический инструментарий при решении конкретных задач; методами проверки правильности решения и оценки эффективности используемых методов; навыками математического моделирования простейших практических задач и проблем, а также навыками содержательной интерпретации получаемых количественных и качественных результатов решений этих задач.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Пространства R(n) и C(n), матрицы и векторы
    Линейные пространства R(n) и C(n) Матрицы и векторы. Основные операции с матрицами и векторами. Квадратная матрица как линейный оператор. Определитель и след квадратной матрицы. Невырожденные матрицы, обратные матрицы. Группа невырожденных матриц GL(n). Скалярное произведение, ортогональные матрицы и ортогональная группа O(n). Прямые суммы подпространств и операторы проектирования. Матричное представление операторов симметрии, поворотов и отражений.
  • Линейные пространства
    Аксиомы. Подпространство. Линейно независимые векторы. Базис и размерность пространства, координатное представление вектора. Линейные отображения. Линейные функционалы. Матрица линейного отображения. Переход к новому базису.
  • Решение систем линейных уравнений
    Метод Гаусса. Общее и частное решения систем линейных уравнений. Главные и свободные неизвестные. Определитель, методы вычисления определителей. Методы вычислений обратных матриц. Методы решений систем линейных уравнений.
  • Линейные операторы
    Матрица линейного оператора. Замена базиса. Собственные векторы, собственные значения, собственный базис. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Характеристический многочлен линейного оператора. Свойства собственных векторов.
  • Билинейные и квадратичные формы
    Матрица симметричной билинейной формы. Замена базиса. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы. Закон инерции для квадратичных форм.
  • Теория групп
    Определение группы. Таблица умножения группы. Примеры групп: циклическая группа, диэдральная группа, группы вращений тетраэдра и куба, группы симметрий тетраэдра и куба, симметрическая группа. Классы сопряженных элементов.
  • Линейные представления конечных групп
    Определения и примеры. Изоморфные представления. Подпредставления. Прямая сумма представлений. Унитарное представление. Приводимые и неприводимые представления. Регулярное представление. Скалярное произведение функций, определенных на группе.
  • Теория характеров
    Определение характера представления. Характер прямой суммы представлений. Лемма Шура. Соотношение ортогональности для характеров. Разложение регулярного представления на неприводимые – основное соотношение для размерностей неприводимых представлений. Число неприводимых представлений группы.
  • Евклидово пространство и линейные операторы
    Скалярное произведение. Ортонормированный базис. Сопряженный оператор. Самосопряженный оператор. Ортогональный оператор. Унитарный оператор.
  • Аналитическая геометрия – прямые и плоскости
    Вычисление длины вектора и расстояния между точками. Скалярное произведение и угол между векторами. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Угол между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Векторное и смешанное произведение векторов.
  • Аналитическая геометрия – кривые и поверхности второго порядка
    Канонический вид уравнения кривой второго порядка. Инварианты. Центр и главные оси. Вершина и ось параболы. Исследование общего уравнения второго порядка
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Т.У1: Работа на семинарах 1 (1-2 модуль)
  • неблокирующий Контрольная работа 1 (2 модуль)
  • неблокирующий Экзамен 1 (2 модуль)
    При проведении экзамена в дистанционном формате следует руководствоваться следующими Правилами проведения экзамена https://docs.google.com/document/d/1Hn-wBHLV3pkVwdcrWpl8TJp3R5z9fOedbg9TZfx3mB4/edit?usp=sharing
  • неблокирующий Т.У2: Работа на семинарах 2 (3-4 модуль)
  • неблокирующий Контрольная работа 2 (4 модуль)
  • неблокирующий Экзамен 2 (4 модуль)
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    I Итоговая оценка за 1-2 модули первого курса: 0.3*(контрольная работа 1) + 0.2 *(Работа на семинарах 1) +0.5 (экзамен 1).
  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    II Итоговая оценка за 3-4 модули первого курса: 0.3*(контрольная работа 2) + 0.2 *(Работа на семинарах 2)+0.5*(экзамен 2).
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Линейная алгебра и геометрия : учеб. пособие для вузов, Шафаревич, И. Р., 2009

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Сборник задач по высшей математике для экономистов : аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование: учеб. пособие, Ермаков, В. И., 2002
  • Сборник задач по высшей математике с контрольными работами : 1 курс: учеб. пособие для вузов, Лунгу, К. Н., 2007