• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Введение в современную топологию

Направление: 38.03.01. Экономика
Кто читает: Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ
Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 6

Программа дисциплины

Аннотация

Курс будет посвящён двумерным поверхностям. На этом наглядном примере мы познакомимся с некоторыми важными понятиями топологии: • эйлерова характеристика; • гомотопия и изотопия; • накрытие; • фундаментальная группа, а также с векторными полями — ключевым понятием теории дифференциальных уравнений. Мы простым и наглядным способом докажем двумерный вариант теоремы Брауэра о неподвижной точке, которая используется, например, в доказательстве теоремы Нэша о равновесии.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Развить геометрическую интуицию у слушателей, расширить их кругозор, познакомить с важными понятиями и некоторыми методами топологии, алгебры, дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знает определение топологического пространства и основных классов пространств
  • Знает определение и основные свойства наиболее употребительных топологических пространств (сферы, грассманианы, пространства флагов и т.п.)
  • Умеет пользоваться основными операциями над топологическими пространствам
  • Умеет задавать топологические пространства в виде клеточных; вычислять гомотопические и гомологические инварианты пространств по их клеточному разбиению
  • Владеет понятиями расслоения и точной последовательности
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Тема 1. Понятие двумерного многообразия. Гомеоморфизм. Примеры двумерных поверхностей. Проективная плоскость
  • Тема 2. Инварианты двумерных поверхностей: число связных компонент края, ориентируемость, эйлерова характеристика.
  • Тема 3. Склейка поверхности из многоугольника и классификация двумерных поверхностей.
  • Тема 4. Векторные поля на поверхностях, индекс векторного поля относительно кривой. Связь с эйлеровой характеристикой.
  • Тема 5. Теорема Брауэра о неподвижной точке (двумерный случай).
  • Тема 6. Группа первых гомологий.
  • Тема 7. Универсальные накрытия.
  • Тема 8. Фундаментальная группа.
  • Тема 9. Примеры (неуниверсальных) накрытий.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Домашние задания
  • неблокирующий Итоговая контрольная работа
  • неблокирующий Промежуточная контрольная работа
  • неблокирующий Работа на занятиях
  • неблокирующий Домашние задания
  • неблокирующий Итоговая контрольная работа
  • неблокирующий Промежуточная контрольная работа
  • неблокирующий Работа на занятиях
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.4 * Домашние задания + 0.3 * Итоговая контрольная работа + 0.2 * Промежуточная контрольная работа + 0.1 * Работа на занятиях
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Виро О.Я., Иванов О.А., Нецветаев Н.Ю. - Элементарная топология - Московский центр непрерывного математического образования - 2010 - 352с. - ISBN: 978-5-94057-587-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9313
  • Примаков, Д. А. Геометрия и топология [Электронный ресурс] : учеб. пособие / Д. А. Примаков, Р. Я. Хамидуллин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: МФПА, 2011. - 272 с. (Университетская серия). - ISBN 978-5-902597-13-1. - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/451172

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Скопенков А.Б. - Алгебраическая топология с геометрической точки зрения - Московский центр непрерывного математического образования - 2016 - 270с. - ISBN: 978-5-4439-2477-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/71854
  • Топология для бакалавров математики: Учебное пособие / Игнаточкина Л.А. - М.:Прометей, 2016. - 88 с. ISBN 978-5-9907453-1-5