Бакалавриат 2020/2021

Математический анализ

Статус: Курс обязательный (Клеточная и молекулярная биотехнология)

Направление: 06.03.01. Биология

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет биологии и биотехнологии

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Алфимов Михаил Николаевич

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 112

Программа дисциплины

Аннотация

Данная дисциплина является обязательной дисциплиной программы. Для освоения учебной дисциплины не требуются знания и компетенции, выходящие за пределы требований к поступающим на программу бакалавриата. Целью освоения дисциплины является ознакомление студентов с теоретическими основами таких разделов математического анализа как теория пределов и непрерывных функций, теория дифференциального исчисления функции одной переменной, неопределённое и определённое интегрирование, а также числовые и функциональные ряды. Кроме того, дисциплина нацелена на формирование практических навыков работы с пределами последовательностей и функций, с непрерывными функциями, с производными и дифференциалами функции одной переменной, с неопределёнными и определёнными интегралами.

Цель освоения дисциплины

• Добиться усвоения студентами теоретических основ, базовых результатов и теорем математического анализа, а также основных математических приемов и правил формального анализа и решения различных математических задач на основе полученных теоретических знаний.
• Обеспечить запросы других разделов математики, использующих возникающие в математическом анализе конструкции.
• Выработать у слушателей навыки решения типовых задач, способствующих усвоению основных понятий, а также задач, способствующих развитию начальных навыков научного исследования.
• Развить умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.

Планируемые результаты обучения

• понимает определение множества, знает примеры простейших числовых множеств и их свойства
• освоил понятие дифференцируемых числовых функций.
• знаком с понятием функции, знает элементарные функции
• освоил элементы теории функций одной переменной

Содержание учебной дисциплины

• Функции и множества.
  Понятие функции. Определение и примеры множеств. Множество действительных чисел и его подмножества. Комплексные числа. Элементарные функции и их свойства. Числовые множества и их свойства.
• Функции одной переменной: предел числовой последовательности.
  Определение и единственность предела числовой последовательности. Переход к пределу в неравенствах. Ограниченность сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Критерий Коши.
• Дифференциальное исчисление функций одной переменной: предел и непрерывность функций.
  Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая интерпретации производной. Уравнение касательной. Понятие дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции одной переменной. Производная суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков.
• Дифференциальное исчисление функций одной переменной: понятие производной и дифференциала.
  Производная и дифференциал первого и высших порядков и их свойства. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Формула Тейлора. Исследование поведения функций.
• Интегральное исчисление функций одной переменной: первообразная, неопределённый интеграл.
  Определение и свойства неопределённого интеграла. Первообразная. Табличные интегралы. Интегрирование подстановкой и по частям. Интегрирование рациональных дробей, некоторых иррациональных и трансцендентных функций.
• Интегральное исчисление функций одной переменной: определённый интеграл и его свойства.
  Определение интеграла Римана. Ограниченность интегрируемой функции. Верхние и нижние суммы Дарбу. Необходимые и достаточные условия интегрируемости. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций. Свойства интегрируемых функций. Определённый интеграл с переменными пределами интегрирования. Замена переменной и интегрирование по частям. Некоторые практические приложения определённого интеграла.
• Ряды: числовые ряды.
  Определение числового ряда, его сходимость и свойства. Критерий Коши сходимости ряда. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Критерий сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми. Интегральный признак сходимости. Сравнительные признаки сходимости. Признаки Даламбера и Коши сходимости рядов. Признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов. Некоторые свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Перестановки слагаемых абсолютно и условно сходящихся рядов. Умножение рядов.
• Ряды: функциональные последовательности и ряды.
  Сходимость, равномерная сходимость и свойства функциональных последовательностей и рядов.
• Ряды: степенные ряды.
  Радиус сходимости и круг сходимости. Аналитические функции. Формула и ряд Тейлора. Методы разложения функций в степенные ряды.

Элементы контроля

• Контрольная работа
  Контрольная работа проводится в письменной форме. Во время экзамена студентам запрещено: учебниками и какими-либо другими дополнительными материалами. Во время экзамена студентам разрешено: пользоваться калькулятором. Для студентов на дистанционном обучении: кратковременным нарушением связи во время экзамена считается до 15 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается более 15 минут. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Экзамен проводится на платформе Zoom. К экзамену необходимо подключиться за 10 минут до начала. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие микрофона и видеокамеры. Для участия в экзамене студент обязан: включить камеру и микрофон.
• Письменная работа
  Экзамен проводится в письменной форме. Во время экзамена студентам запрещено: учебниками и какими-либо другими дополнительными материалами. Во время экзамена студентам разрешено: пользоваться калькулятором. Для студентов на дистанционном обучении: кратковременным нарушением связи во время экзамена считается до 15 минут. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается более 15 минут. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Экзамен проводится на платформе Zoom. К экзамену необходимо подключиться за 10 минут до начала. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие микрофона и видеокамеры. Для участия в экзамене студент обязан: включить камеру и микрофон.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (1 модуль)
  0.4 * Контрольная работа + 0.6 * Письменная работа
• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  0.3 * Контрольная работа + 0.4 * Письменная работа + 0.3 * Промежуточная аттестация (1 модуль)

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Курс математического анализа. Т.1: Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, Кудрявцев, Л. Д., 2006
• Основы математического анализа. Ч.1: ., Ильин, В. А., 2002
• Сборник задач по математическому анализу. Т. 1: Предел. Непрерывность. Дифференцируемость, , 2012
• Сборник задач по математическому анализу. Т. 2: Интегралы. Ряды, , 2012

Рекомендуемая дополнительная литература

• Краткий курс математического анализа. Т.1: Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной. Ряды, Кудрявцев, Л. Д., 1998
• Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2 : учебник: в 3 т., Фихтенгольц, Г. М., 2009
• Курс математического анализа : учеб. пособие для вузов, Тер-Крикоров, А. М., 2000
• Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2007