Бакалавриат 2020/2021

Основы математических исследований

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс по выбору (Экономика)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Санкт-Петербургская школа экономики и менеджмента

Когда читается: 1-й курс, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Ихсанов Лев Назарович

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 32

Программа дисциплины

Аннотация

Целями освоения дисциплины «Основы математических исследований» являются изучение метода вариации, решение вариационных задач и задач оптимального управления. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами факультета Экономики математической компоненты своего профессионального образования.

Цель освоения дисциплины

• Целями освоения дисциплины «Основы математических исследований» являются изучение метода вариации, решение вариационных задач и задач оптимального управления. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами факультета Экономики математической компоненты своего профессионального образования.

Планируемые результаты обучения

• Демонстрирует знание теоремы о непрерывности линейного оператора, необходимых условий экстремума
• Знает необходимое условие оптимального управления
• Планируется приобретение студентами навыков решения дифференциальных уравнений, необходимых для исследований существующих моделей в экономике.
• Целью раздела является приобретение основного навыка курса: владение алгоритмом минимизации интегральных функционалов в случае задачи с закреплёнными концами и задачи Больцы, а также поиск экстремалей в таких задачах и проверка достаточных условий минимума.
• Целью раздела является формирование кругозора в области математического моделирования на примерах задач физики и экономики.

Содержание учебной дисциплины

• Элементы дифференциального исчисления в нормированных пространствах
  Нормированные пространства. Норма оператора. Теорема о непрерывности линейного оператора. Производные по Гато и Фреше функционала. Изопериметрическая задача. Необходимые условия экстремума. Второй дифференциал.
• Методы решения дифференциальных уравнений
  Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной: уравнения с разделяющимися переменными, уравнения, сводящиеся заменой переменной к уравнениям с разделяющимися переменными.
• Интегральные функционалы. Исследование на экстремум интегрального функционала
  Лемма Дюбуа–Реймона. Основная лемма вариационного исчисления. Гладкость интегрального функционала. Уравнение Эйлера для интегральных функционалов. Простейшая задача вариационного исчисления. Естественные граничные условия. Условие трансверсальности. Вторая вариация интегрального функционала: необходимые и достаточные условия экстремума.
• Задачи оптимального управления
  Постановка задач оптимального управления. Допустимое управление. Принцип максимума Понтрягина : необходимое условие оптимального управления.
• Вариационные задачи в физике и экономике
  Задача о брахистохроне. Задача о инвестиционных решениях по продаже.

Элементы контроля

• Аудиторная активность
  В случае чрезвычайных обстоятельств, связанных, например, со сложной эпидемиологической обстановкой, возможно проведение контрольных работ дистанционно с использованием интернет платформ таких, как Zoom, MS Teams и др. Допускается внутренний синхронный и асинхронный прокторинг.
• Выполнение домашних заданий
  В случае чрезвычайных обстоятельств, связанных, например, со сложной эпидемиологической обстановкой, возможно проведение контрольных работ дистанционно с использованием интернет платформ таких, как Zoom, MS Teams и др. Допускается внутренний синхронный и асинхронный прокторинг.
• Контрольная работа
  В случае чрезвычайных обстоятельств, связанных, например, со сложной эпидемиологической обстановкой, возможно проведение контрольных работ дистанционно с использованием интернет платформ таких, как Zoom, MS Teams и др. Допускается внутренний синхронный и асинхронный прокторинг.
• Экзамен (90 минут, письменная работа)
  В случае возникновения чрезвычайных обстоятельств, связанных, например, со сложной эпидемиологической обстановкой, возможно проведение экзамена дистанционно на базе интернет платформ таких, как Zoom, MS Teams и др. Допускается при этом использование внутреннего или независимого внешнего синхронного или асинхронного прокторинга. Категорически не допускается использование конспектов, шпаргалок, телефонов, компьютеров, наушников, калькуляторов. За нарушение указанных условий проведения экзамена студент удаляется с экзамена и получает неудовлетворительную оценку.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (3 модуль)
  Итоговая оценка M_fin выводится на основе накопленной оценки по результатам текущей аттестации M_тк и оценки за экзамен M_exam по формуле M_fin = 0.65*M_тк + 0.35*M_exam

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Введение в оптимальное управление : Учебно-методическое пособие, Ногин, В.Д., 2008
• Дифференциальные и разностные уравнения: Какие явления они описывают и как их решать : Учебное пособие, Гордин, В.А., 2016
• Функциональный анализ в нормированных пространствах, Канторович, Л.В., 1959

Рекомендуемая дополнительная литература

• Математические методы классической механики, Арнольд, В.И., 1977