• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2020/2021

Математический анализ II

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Курс обязательный (Экономика)
Направление: 38.03.01. Экономика
Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Язык: русский
Кредиты: 7

Программа дисциплины

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Математический анализ II» является изучение разделов «Интегральное исчисление», «Числовые и функциональные ряды» и «Дифференциальные уравнения», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений», «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Теория игр», «Эконометрика». Курс "Математический анализ II" будет использоваться в теории и приложениях дисциплин экономического цикла. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей в различных предметных областях, в первую очередь в экономике. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами-экономистами математической компоненты своего профессионального образования.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Целями освоения дисциплины являются изучение разделов «Интегральное исчисление», «Числовые и функциональные ряды» и «Дифференциальные уравнения».
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Знать основные понятия, теоремы и методы интегрального исчисления для неопределенного интеграла, уметь решать задачи с применением различных методов взятия неопределенного интеграла
  • Знать основные понятия, теоремы и методы интегрального исчисления для определенного интеграла, уметь решать задачи с применением формулы Лейбница и на приложения определенного интеграла.
  • Знать основные понятия, теоремы и методы интегрального исчисления для несобственного интеграла, уметь исследовать на сходимость несобственный интеграл.
  • Знать основные понятия, теоремы и методы интегрального исчисления для кратных (двойных) интегралов, уметь решать задачи с применением двойного интеграла и на приложения кратных интегралов.
  • Знать основные функции и понятия числовых, знакопеременных и функциональных рядов.
  • Знать основные понятия, теоремы и методы теории числовых и функциональных рядов, приемы исследования степенных и функциональных рядов. Уметь решать задачи на исследования сходимости числовых и функциональных рядов, а также их приложения.
  • Знать основные понятия, теоремы и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений ОДУ, классы ОДУ, уметь использовать аппарат дифференциальных уравнений для моделирования простых экономических процессов.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Интегрирование: первообразная, неопределенный интеграл
    Первообразная и неопределенный интеграл. Первая основная теорема интегрального исчисления (о существовании первообразной у непрерывной функции). Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы. Основные методы интегрирования (простейшие приемы интегрирования, замена переменной, интегрирование по частям). Интегрирование некоторых элементарных функций.
  • Интегрирование: определенный интеграл и его приложения
    Интегральная сумма Римана, определенный интеграл и его геометрическая интерпретация. Интегральные суммы Дарбу. Свойства определенного интеграла (связанные с подынтегральной функцией, с отрезком интегрирования). Теорема о среднем значении. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу. Формула Ньютона-Лейбница. Вторая основная теорема интегрального исчисления (о существовании определенного интеграла у непрерывной функции). Интегрируемые по Риману функции. Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
  • Интегрирование: несобственные интегралы.
    Несобственные интегралы. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки сходимости.
  • Кратные интегралы. Двойной интеграл
    Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Замена переменной в двойном интеграле. Вычисление площади криволинейной фигуры с помощью двойного интеграла.
  • Числовые и функциональные ряды I.
    Понятие о числовых рядах. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сходимости для знакопостоянных и знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.
  • Числовые и функциональные ряды II.
    Степенные ряды. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда. Формула для вычисления радиуса сходимости. Понятие ряда Тейлора. Понятие о рядах Фурье. Теорема о представлении функции в виде ее ряда Фурье.
  • Дифференциальные уравнения
    Основные понятия теории дифференциальных уравнений: дифференциальное уравнение (ДУ), порядок, решение, интегральная кривая. ДУ первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности (формулировка). Общее и частное решение. ДУ первого порядка, интегрируемые в квадратурах. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. ДУ первого порядка: однородное, приводящиеся к однородному, линейное, уравнение Бернулли, в полных дифференциалах. ДУ высших порядков. Задача Коши. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка. Линейные однородные и неоднородные уравнения 2-го порядка. Линейно зависимые и независимые решения. Определитель Вронского для решений линейного однородного уравнения. Фундаментальная система решений. Структура общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера решения уравнений. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения 2-го порядка. Интегрирование линейных неоднородных ДУ методом вариации произвольных постоянных. Нахождение частных решений неоднородных уравнений с правыми частями специального вида.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа 1 (3 модуль)
    При выполнении контрольных работ студент должен продемонстрировать знание основных определений, формулировок теорем и методов решения задач по интегральному исчислению функций одной и многих переменных, теории рядов и дифференциальных уравнений, уметь применять их для решения конкретных задач.
  • неблокирующий Контрольная работа 2 (3 модуль)
    При выполнении контрольных работ студент должен продемонстрировать знание основных определений, формулировок теорем и методов решения задач по интегральному исчислению функций одной и многих переменных, теории рядов и дифференциальных уравнений, уметь применять их для решения конкретных задач.
  • неблокирующий Контрольная работа 3 (4 модуль)
    При выполнении контрольных работ студент должен продемонстрировать знание основных определений, формулировок теорем и методов решения задач по интегральному исчислению функций одной и многих переменных, теории рядов и дифференциальных уравнений, уметь применять их для решения конкретных задач.
  • неблокирующий Контрольная работа 4 (4 модуль)
    При выполнении контрольных работ студент должен продемонстрировать знание основных определений, формулировок теорем и методов решения задач по интегральному исчислению функций одной и многих переменных, теории рядов и дифференциальных уравнений, уметь применять их для решения конкретных задач.
  • неблокирующий Самостоятельная работа
  • неблокирующий Экзамен (110 минут, письменная работа)
    На промежуточном/итоговом контроле в письменной экзаменационной работе студент должен продемонстрировать знание основных теоретических положений дисциплины (определения, формулировки теорем, свойства математических объектов) и математического инструментария дисциплины, умение формулировать и доказывать теоремы, выбирать метод решения и решать конкретные задачи на применение этих методов. Экзамен проводится в письменной форме. Экзамен проводится на платформе http://online.hse.ru/ с синхронизацией с конференцией в ZOOM. К экзамену (конференции Zoom и вход в аккаунт платформы online.hse) необходимо подключиться за 10 минут до начала экзамена и проверить работу всех устройств и ПО. Компьютер и рабочее место студента должен удовлетворять следующим требованиям: наличие камеры, звука, скоростного интернета. Подробная процедура проведения экзамена и других письменных контрольных мероприятий изложена инструкции, размещенной в LMS, с которой студенты обязаны ознакомиться заблаговременно Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи не более чем на 2 минуты. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи на более, чем 2 минуты. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Уважительную причину нарушения связи студент должен подтвердить справкой от провайдера (или иных служб обеспечения связи), направив ее преподавателю дисциплины с копией в учебный офис.
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    Итоговая оценка M_fin выводится на основе накопленной оценки по результатам текущей аттестации M_тк и оценки за экзамен M_exam по формуле M_fin = 0.65*M_тк + 0.35*M_exam
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Ч. 1 4-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 660с. - ISBN: 978-5-9916-2733-7 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-ch-1-389342
  • Кудрявцев Л.Д. - КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 2 В 2 КНИГАХ 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 720с. - ISBN: 978-5-9916-6126-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-2-v-2-knigah-387530
  • Путко Б.А., Тришин И.М., Кремер Н.Ш. - под ред. - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В 2 Т. Учебник и практикум для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 634с. - ISBN: 978-5-9916-6238-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/matematicheskiy-analiz-v-2-t-388079

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Шипачев В.С. - ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. ПОЛНЫЙ КУРС 4-е изд., испр. и доп. Учебник для академического бакалавриата - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 607с. - ISBN: 978-5-9916-4358-0 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/vysshaya-matematika-polnyy-kurs-388659