• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2021/2022

Математический анализ

Статус: Курс обязательный (Информатика и вычислительная техника)
Направление: 09.03.01. Информатика и вычислительная техника
Когда читается: 2-й курс, 1, 2 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Язык: русский
Кредиты: 4

Программа дисциплины

Аннотация

Математический анализ является одной из базовых математических дисциплин. В данном курсе вы познакомитесь с анализом функций одной и многих переменных, с классическим дифференциальным и интегральным исчислением. Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих базовую подготовку. Знания и навыки, приобретенные на математическом анализе, необходимы для успешного освоения большинства дисциплин профессионального цикла. Изучение данной дисциплины базируется на знаниях и умениях, приобретённых в рамках школьной программы по математике. Для освоения учебной дисциплины от студентов не требуется знаний и умений, выходящих за рамки школьной программы.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Ознакомление студентов с основными понятиями и методами теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких действительных переменных;
  • Формирование естественнонаучного мировоззрения и развитие системного мышления, содействие фундаментализации образования.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Студент должен знать основные положения теории пределов и непрерывных функций, теории числовых и функциональных рядов, теории интегралов, зависящих от параметра, теории неявных функций и её приложений к задачам на условный экстремум, теории поля, основные теоремы дифференциального и интегрального исчисления функций одного и нескольких переменных.
  • Студент должен уметь определять возможности применения теоретических положений и методов математического анализа для постановки и решения конкретных прикладных задач, решать основные задачи, требующие вычисления пределов функций, производных и интегралов, разложения функций в ряды.
  • Студент должен иметь навыки использования стандартных методов и моделей математического анализа и их применения к решению прикладных задач.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Криволинейные и поверхностные интегралы
    Параметризация гладкой кривой. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода: определение, методы вычисления, механический смысл. Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода: определение, методы вычисления, механический смысл. Формула Грина. Формула Стокса. Формула Гаусса-Остроградского.
  • Элементы теории поля
    Скалярные и векторные поля. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция векторного поля. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля. Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа. Классификация векторных полей и их свойства.
  • Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных.
    Область определения и множества уровня. Предел и непрерывность. Частные производные функций двух и трёх переменных, линеаризация. Уравнение касательной плоскости к поверхности. Приближённое вычисление функций. Производные старших порядков и их свойства. Производные суперпозиций. Производная по направлению и градиент функции. Дифференцирование и приближённое вычисление неявных функций. Исследование функции двух переменных на локальный и глобальный экстремум. Кратные интегралы, методы их вычисления. Полярные, сферические и цилиндрические координаты. Геометрические приложения кратных интегралов (площадь фигуры, объём области). Физические приложения кратных интегралов (масса, центр тяжести, моменты инерции).
  • Дифференциальные уравнения
    Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши. Существование и единственность решения. Уравнения с разделяющимися переменным и с однородной правой частью, линейные уравнения. Задача Коши для общего дифференциального уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их свойства и методы решения. Метод Лагранжа (вариации постоянных).
  • Евклидовы пространства и гладкие функции на них.
    Евклидовы пространства. Модуль вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональность. Ортонормированный базис. Ортогональное проектирование. Ортогонализация Грама-Шмидта в евклидовом пространстве. Сходимость последовательности в евклидовом пространстве. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Непрерывные функции на евклидовом пространстве. Предел функции на евклидовом пространстве. Дифференцируемые функции на евклидовом пространстве. Дифференциал и непрерывно дифференцируемые функции порядка. Градиент функции и его связь с дифференциалом. Непрерывная дифференцируемость порядка 2 и теорема Шварца. Непрерывная дифференцируемость порядка m и производная по мультииндексу. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Локальный экстремум на евклидовом пространстве. Условия локального экстремума в терминах свойств дифференциалов. Условия локального экстремума в терминах свойств частных производных. Локальный экстремум функции двух переменных. Условный экстремум функции многих переменных. Метод множителей Лагранжа. Задачи на условный экстремум.
  • Кратные интегралы
    Определение кратного интеграла. Интегрируемость непрерывной функции на измеримом компакте. Свойства кратного интеграла. Вычисление кратных интегралов. Правильные области в R^n. Площадь правильной области в R^2. Объем правильной области в R^3. Переход от кратного интеграла к повторному. Теорема о замене переменных. Полярные координаты. Цилиндрические координаты. Сферические координаты.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Контрольная работа №1 (Многомерное дифференцирование)
  • неблокирующий Контрольная работа №2 (Многомерное интегрирование)
  • неблокирующий Коллоквиум
  • неблокирующий Аудиторная
  • блокирующий Экзамен
    В диплом выставляется оценка, являющаяся средним арифметическим оценок за 1-ый, 2-ой семестры 1-ого курса и 1-ый семестр 2-ого курса.
  • неблокирующий Результирующая за 1-2 модули 1 года
  • неблокирующий Результирующая за 3-4 модули 1 года
  • неблокирующий Результирующая за 1-2 модули 1 года
  • неблокирующий Результирующая за 3-4 модули 1 года
  • неблокирующий Контрольная работа №3 (Дифференциальные уравнения)
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.042 * Аудиторная + 0.042 * Контрольная работа №1 (Многомерное дифференцирование) + 0.042 * Контрольная работа №2 (Многомерное интегрирование) + 0.041 * Контрольная работа №3 (Дифференциальные уравнения) + 0.333 * Результирующая за 1-2 модули 1 года + 0.333 * Результирующая за 3-4 модули 1 года + 0.167 * Экзамен
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Кудрявцев Л. Д. - КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 1 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2019 - 703с. - ISBN: 978-5-9916-3701-5 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-1-425369
  • Кудрявцев Л.Д. - КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В 3 Т. ТОМ 2 В 2 КНИГАХ 6-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 720с. - ISBN: 978-5-9916-6126-3 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/kurs-matematicheskogo-analiza-v-3-t-tom-2-v-2-knigah-387530
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. - Курс математического анализа - Издательство "Физматлит" - 2001 - 672с. - ISBN: 5-9221-0008-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/59258

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений : учебник для мех.-мат. фак. ун-тов, Петровский, И. Г., 1970
  • Поспелов А.С. - Отв. ред. - СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ. Ч. 1. Учебное пособие для бакалавров - М.:Издательство Юрайт - 2016 - 605с. - ISBN: 978-5-9916-8168-1 - Текст электронный // ЭБС ЮРАЙТ - URL: https://urait.ru/book/sbornik-zadach-po-vysshey-matematike-ch-1-393226
  • Сборник задач и упражнений по математическому анализу : учеб. пособие для вузов, Демидович, Б. П., 2003