Введение в топологию

Бакалавриат 2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1-й курс, 2, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Мерзон Григорий Александрович, Пушкарь Петр Евгеньевич, Ященко Иван Валериевич

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 114

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина для 1 курса ОП бакалавриата Математика и ОП Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ-ЦПМ; Пререквизиты: к началу курса (2 модуль) необходимо владеть языком «наивной» теории множеств и элементарными понятиями анализа (действительные числа, предел последовательности действительных чисел, непрерывная функция на действительной прямой). К началу февраля желательно знать основные понятия теории групп (группа, гомоморфизм групп, смежные классы, действие группы на множестве).

Цель освоения дисциплины

Знакомство с основными понятиями и результатами общей топологии и некоторыми разделами алгебраической топологии (фундаментальная группа и теория накрытий).

Планируемые результаты обучения

Умение работать с основными понятиями и результатами общей топологии и некоторыми разделами алгебраической топологии (фундаментальная группа и теория накрытий)

Содержание учебной дисциплины

Знакомство с действующими лицами
Метрические пространства. Примеры. Открытые подмножества метрического пространства. Топологические пространства. Примеры. База и предбаза топологии. Сходимость. Хаусдорфовость. Замыкание, внутренность, граница множества, предельные и изолированные точки. Непрерывные отображения, гомеоморфизмы. Различные характеризации непрерывности (в т.ч. для метрических пространств).
Основные конструкции
Подпространства топологических пространств. Инициальная и финальная топологии. Дизъюнктные объединения. Произведения. Универсальные свойства дизъюнктных объединений и произведений.
Связность
Связные и линейно связные пространства. Их основные свойства. Связность отрезка. Описание связных подмножеств прямой. Связные и линейно связные компоненты.
Компактность
Компактные топологические пространства. Примеры. Компактность замкнутого куба в Rn. Основные свойства компактных пространств. Критерий компактности подмножества в Rn. Теорема Тихонова о компактности произведения. Локально компактные топологические пространства. Примеры и основные свойства. Одноточечная компактификация, ее основные свойства, примеры. Счетная компактность, секвенциальная компактность, их связь с компактностью.
Основные конструкции – 2
Факторпространства топологических пространств, их универсальное свойство. Факторные отображения. Примеры факторпространств. Частные случаи факторизации: стягивание подмножества в точку и склейка по отображению. Примеры. Вещественное проективное пространство, его эквивалентные определения, компактность и хаусдорфовость.
Гомотопии, фундаментальная группа
Гомотопия отображений. Примеры. Согласованность гомотопии с композициями. Гомотопия путей. Произведение путей и их гомотопических классов. Фундаментальная группа. Вычисление фундаментальной группы окружности и n-мерной сферы. Зависимость фундаментальной группы от отмеченной точки. Гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный отображением пространств. Ретракции. Примеры. Несуществование ретракции двумерного диска на его границу. Теорема Брауэра о неподвижной точке (двумерный случай). Фундаментальная группа произведения. Примеры: фундаментальная группа тора и Rn\{0}. Гомотопическая эквивалентность. Деформационные ретракции, строгие деформационные ретракции. Стягиваемые пространства. Примеры. Изоморфизм фундаментальных групп гомотопически эквивалентных пространств. Топологическое доказательство «основной теоремы алгебры». Свободное произведение групп. Теорема Зейферта—ван Кампена. Фундаментальная группа букета окружностей.
Накрытия
Накрытия. Примеры накрытий. Число листов накрытия. Теорема о единственности поднятия. Теорема о накрывающей гомотопии. Следствия: теорема о поднятии путей, теорема о поднятии гомотопии путей. Монодромия. Вычисление фундаментальной группы вещественного проективного пространства. Критерий существования поднятия в терминах фундаментальных групп. Морфизмы накрытий, их свойства. Критерий изоморфизма связных накрытий с отмеченной точкой и без. Универсальное накрытие. Классификация связных накрытий (с отмеченной точкой и без) в терминах подгрупп фундаментальной группы.

Элементы контроля

коллоквиум
Коллоквиум проводится в начале третьего модуля.
оценка за листки
экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (3 модуль)
Оценка за курс вычисляется по формуле Итоговая оценка = 0.3 × (оценка за экзамен, блокирующий)+ 0.2 × (оценка за коллоквиум) + 0.5 × (оценка за листки)

Программа дисциплины