Случайные процессы и моделирование

Магистратура 2019/2020

Статус: Курс обязательный (Статистическое моделирование и актуарные расчеты)

Направление: 38.04.01. Экономика

Кто читает: Департамент статистики и анализа данных

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 3, 4 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Преподаватели: Конаков Валентин Дмитриевич

Прогр. обучения: Статистическое моделирование и актуарные расчеты

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 36

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Моделирование методом Монте-Карло является математическим инструментарием, всё более используемым в деятельности банков и страховых компаний для оценки их рентабельности и платёжеспособности. Почему методы моделирования используются в финансовой̆ сфере? Дело в том, что недостаточно изучать поведение финансового субъекта на нескольких простых сценариях. Согласно закону больших чисел, следует тестировать значительное число сценариев, чтобы быть уверенным в надёжности нашей̆ модели. Разумеется, подобные подходы стали возможны лишь с появлением современных быстродействующих компьютеров. Моделирование методом Монте-Карло позволяет описать распределение случайной величины и вычислить её типичное, среднее значение (математическое ожидание). Этот метод используется, когда получение точного распределения на всей̆ популяции слишком сложно или является слишком дорогостоящим.

Цель освоения дисциплины

Целью дисциплины является формирование навыков использования результатов моделирования для оценки характеристик таких экономических показателей, значения которых являются результатом воздействия многих разнородных случайных факторов, т. е. сами эти показатели можно считать случайными величинами.

Планируемые результаты обучения

Знать основные определения, понятия и базовые теоремы теории вероятностей
Освоить метод обращения моделирования основных вероятностных законов распределения
Освоение более сложных методов моделирования: метода выборки с отклонением, метода Бокса - Мюллера
Изучить понятие условного математического ожидания случайной величины относительно сигма-алгебры. Уметь производить соответствующие вычисления.
Изучить метод Монте-Карло, его достоинства и недостатки.
Изучить базовую теорию цепей Маркова с дискретным временем и конечным пространством состояний.

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Напоминания из теории вероятностей.
Вероятностное пространство, случайные величины, законы распределения, математическое ожидание, дисперсия, производящие и характеристические функции, сходимость случайных величин, законы больших чисел, центральная предельная теорема. Независимость случайных величин. Основные дискретные и непрерывные распределения. Псевдослучайные числа. Методы моделирования равномерного закона на отрезке [0,1].
Тема 2. Моделирование случайных величин, заданных своей функцией распределения.
Моделирование дискретных случайных величин, моделирование биномиальных законов распределения. Законы, заданные своими функциями распределения. Моделирование методом обращения функции распределения. Применение: моделирование экспоненциальных законов. Обобщенная обратная функция распределения, моделирование закона Пуассона.
Тема 3. Моделирование случайных величин, заданных своей функцией плотности.
Метод выборки с отклонением. Случай плотности с компактным носителем. Обобщение метода на случай плотности, определённой на всей числовой прямой. Моделирование равномерного закона на диске D(0,1) моделирование равномерного закона на сфере любой размерности. Моделирование нормальных законов, метод Бокса-Мюллера.
Тема 6. Цепи Маркова.
Цепи Маркова и стохастические процессы. Определение цепи Маркова, начальное распределение и вероятности перехода. Марковское свойство, оператор сдвига. Стохастические матрицы, переходные матрицы. Цепь Маркова как стохастическая динамическая система. Классификация состояний цепи Маркова: поглощающие, рекуррентные и транзитивные состояния. Пример: задача о разорении игрока. Неприводимость. Периодичность и апериодичность. Разложение неприводимой цепи Маркова на апериодические классы. Стационарные распределения. Эргодическая теорема.
Тема 5. Метод Монте-Карло.
Приближённое вычисление интегралов: методы прямоугольников, трапеций, метод Симпсона. Неприменимость этих методов в пространствах большой размерности. Метод Монте-Карло, описание метода, его достоинства и недостатки. Применение теоремы Берри-Эссеена. Варианты метода Монте-Карло.
Тема 4. Условные распределения и математические ожидания.
Условные вероятности, формула полной вероятности, теорема Байеса. Условное математическое ожидание относительно конечной сигма – алгебры. Условное математическое ожидание относительно случайной величины. Случай величин, имеющих плотности распределения. Независимость, независимые сигма-алгебры.

Элементы контроля

Активность работы на лекциях и семинарах
Контрольная работа
Письменный экзамен
Экзамен проводится в письменной форме (два вопроса по материалам курса и две задачи). Экзамен проводится на платформе Zoom.us (https://zoom.us/ ). К экзамену необходимо подключиться согласно за 15 минут до начала. Компьютер студента должен удовлетворять требованиям: наличие рабочей камеры и микрофона. Для участия в экзамене студент обязан: явиться на экзамен согласно точному расписанию, при выполнении задания держать включенной камеру, микрофон включать только при наличии вопроса по заданию. Во время экзамена студентам запрещено: выключать камеру, пользоваться мобильными телефонами и иными материалами кроме конспектов. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи менее минуты. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение длительностью минута и более. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Процедура пересдачи подразумевает использование заданий того же уровня сложности.

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.1 * Активность работы на лекциях и семинарах + 0.3 * Контрольная работа + 0.6 * Письменный экзамен

Программа дисциплины