Научно-исследовательский семинар "Математика физических явлений"

2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Преподаватели: Арсеев Петр Иварович

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 36

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Курс о связи реальных физических явлений и математических методов их описания, о возникновении определенных математических структур из законов физики, в первую очередь в механике, электростатике, электродинамике. В курсе обсуждаются такие вещи, как связь второго закона Ньютона с Лагранжевым формализмом, движение «по прямой» по криволинейной поверхности, поведение гироскопа, эквивалентность закона Кулона теореме Гаусса и т.д ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ПОДГОТОВКА: желательно знание основ матанализа и понимание простых дифференциальных уравнений. Занятия рассчитаны скорее на студентов 2–3 курсов бакалавриата, но и подготовленные первокурсники не должны встретить серьёзных трудностей.

Цель освоения дисциплины

Дать представление о связи реальных физических явлений и математических методов их описания, о возникновении определенных математических структур из законов физики.
Научить применять математические методы решения задач в механике, электростатике, электродинамике.

Планируемые результаты обучения

Понимает и умеет применять математические методы в описании процессов механики
Понимает и умеет применять математические методы в описании процессов электростатики
Понимает и умеет применять математические методы в описании процессов электродинамики

Содержание учебной дисциплины

Второй закон Ньютона-основа описания классического движения
Примеры динамики. Законы сохранения из уравнений движения
От законов Ньютона к лагранжевой формулировке
Принцип наименьшего действия. Законы сохранения с точки зрения лагранжевого подхода.
Различные виды движения
«Свободное» движение в криволинейном пространстве. Движение по сфере и поверхностям вращения. Описание с помощью метрики. Движение быстро вращающихся тел. Нетривиальность их свободного движения. «Антиинтуитивное» поведение гироскопа.
Закон Кулона
Закон Кулона как прямое следствие эксперимента. Понятие потока векторного поля. Эквивалентность теоремы Гаусса «экспериментальной» формулировке закона Кулона. Дивергенция векторного поля, дифференциальная формулировка закона Кулона. Уравнения Лапласа и Пуассона.
Использование теоремы Гаусса
Решение задач электростатики с помощью теоремы Гаусса. Поле заряженных плоскостей и стержней. Понятие о двумерной и одномерной электростатике и специфических «законах Кулона». Заряды над поверхностью металла.
Электрическое поле
Электрическое поле в диэлектриках. Поверхностные заряды и граничные условия для электрического поля в неоднородной системе. Метод зарядов изображений — физическое решение задачи о нахождении решения дифференциального уравнения с граничными условиями.
Взаимодействие токов
Взаимодействие токов. Экспериментальные законы Эрстеда и Ампера. Сила, действующая на ток в магнитном поле. Сила Лоренца. Движение частицы в магнитном поле.
Понятие векторного потенциала
Понятие векторного потенциала. Ротор векторного поля, формула Стокса. Свойства векторного потенциала, сравнение со скалярным потенциалом. Дифференциальная формулировка законов электромагнетизма при условии стационарности токов.
Лагранжиан
Лагранжиан частицы, взаимодействующей с электромагнитным полем. Закон Фарадея, его интегральная и дифференциальная формулировки. Система уравнений Максвелла. Еще раз их физический смысл и математическая формулировка. Полный Лагранжиан электромагнитного поля — возможность вывода уравнений электродинамики из новых принципов.
Электромагнитные волны
Уравнения электромагнитных волн из уравнений Максвелла. Электромагнитные волны в среде. Граничные условия на поверхности раздела двух сред. Отражение от поверхности раздела двух сред. Два метода решения задачи об отражении от плоскопараллельной пластины. Поверхностные волны. Волноводы и резонаторы. Дискретные частоты собственных колебаний — путь к описанию полей как набора осцилляторов.

Элементы контроля

самостоятельное решение задач по разделам НИС
устный ответ о теоретических формулах, применяемых в задачах

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.7 * самостоятельное решение задач по разделам НИС + 0.3 * устный ответ о теоретических формулах, применяемых в задачах

Программа дисциплины