Дифференциальная геометрия

2020/2021

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Преподаватели: Пенской Алексей Викторович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 72

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дифференциальная геометрия— продолжающая активно развиваться область геометрии, изучающая феномен кривизны. Данный курс посвящён изучению кривизны начиная от классического случая кривизны кривых и поверхностей в евклидовом пространстве, и заканчивая кривизной связностей в векторных расслоениях над гладкими вещественными многообразиями. Предварительная подготовка: первый год бакалавриата и осенний семестр второго года бакалавриата.

Цель освоения дисциплины

Изучение кривизны в трёх разных контекстах: 1) кривизна кривых и поверхностей в евклидовом пространстве; 2) кривизна связностей в векторных расслоениях; 3) важнейший частный случай - кривизны в касательном расслоении многообразия.

Планируемые результаты обучения

Решает задачи на кривизну и кручение кривых.
Решает задачи и доказывает утверждения о кривизне поверхностей.
Решает задачи и доказывает утверждения из дифференциальной геометрии n-мерных поверхностей
Решает задачи и доказывает утверждения про расслоения.
Решает задачи и доказывает утверждения про связности в векторных расслоениях.
Решает задачи и доказывает утверждения про связности в главных расслоениях.
Решает задачи и доказывает утверждения про римановы многообразия.
Решает задачи и доказывает утверждения про геодезические.
Решает задачи и доказывает утверждения про римановы подмногообразия.
Решает задачи и доказывает утверждения про оператор Лапласа-Бельтрами.
Решает задачи и доказывает утверждения про характеристические классы Чженя, Понтрягина и Эйлера.

Содержание учебной дисциплины

Кривизна кривых в плоскости и в пространстве.
Кривизна, кручение, репер Френе, формулы Френе.
Кривизна поверхностей в трехмерном пространстве.
Первая и вторая квадратичные формы. Главные кривизны, средняя и гауссова кривизна. Нормаль средней кривизны. Формула Эйлера для кривизны нормального сечения.
Дифференциальная геометрия поверхностей в n-мерном евклидовом пространстве.
Первая и вторая квадратичные формы. Связности в касательном и нормальном расслоениях к поверхности. Вторая квадратичная форма и оператор Вейнгартена. Деривационные уравнения Гаусса-Вейнгартена. Теорема Гаусса-Бонне для поверхностей.
Векторные расслоения.
Векторные расслоения. Склеивающие коциклы. Структурная группа. Евклидовы и эрмитовы расслоения. Естественные операции с расслоениями. Ориентируемые расслоения.
Связности в векторных расслоениях.
Связности в векторных расслоениях. Локальное задание связности: локальная форма связности, символы Кристоффеля. Кривизна. Связности в евклидовых и эрмитовых расслоениях. Связности, согласованные с метрикой и их кривизна.
Связности в главных расслоениях.
Связности в главных расслоениях.
Римановы многообразия.
Римановы многообразия. Кручение, кривизна. Связность Леви-Чивиты. Симметрии тензора кривизны. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.
Геодезические.
Геодезические. Экспоненциальное отображение. Геодезические координаты. Лагранжево описание геодезических. Вторая вариация.
Подмногообразия римановых многообразий.
Подмногообразия римановых многообразий. Первая и вторая квадратичные формы.
Оператор Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях.
Оператор Лапласа-Бельтрами на римановых многообразиях.
Характеристические классы.
Характеристические классы. Конструкция Чженя-Вейля характеристических классов. Классы Чженя, Понтрягина и Эйлера и их свойства. Характер Чженя и его свойства.

Элементы контроля

Письменная контрольная работа
Работа у доски на семинарах в течение семестра
Письменный экзамен

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (4 модуль)
0.4 * Письменная контрольная работа + 0.5 * Письменный экзамен + 0.1 * Работа у доски на семинарах в течение семестра

Программа дисциплины