Дополнительные главы математического анализа

2020/2021

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Майнор

Кто читает: Департамент математики

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1, 2 модуль

Преподаватели: Гордин Владимир Александрович, Кирова Валерия Орлановна

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 90

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Алгебраические уравнения встречаются на каждом шагу. Примеров рассмотрим много. Но не каждое такое уравнение имеет вещественное решение, например, x^2+1=0. А вот комплексных решений у уравнения P_n(x)=0 c учетом их возможной кратности существует ровно n, где n – степень уравнения. Это утверждает Основная теорема алгебры. Если n≤4, то корни находятся по известным формулам, которые используют четыре арифметических действия и извлечение корней. Для уравнений более высокой степени такой общей формулы не существует и не может существовать, - это следует из теории Эвариста Галуа. Зато можно эти корни найти с любой точностью на компьютере, - постепенно к ним приближаясь. Простейший вариант – решение квадратного уравнения методом Герона Александрийского (метод, кстати, старше самого Герона не менее, чем на пять веков). Алгебраическими уравнениями дело не ограничится, будем решать методом Ньютона уравнения более общего вида – уметь бы вычислять функцию и ее первую производную, а остальное быстро сделает компьютер. Если начать приближаться к решению с небольшого расстояния, то очень быстро погрешность станет исключительно маленькой. А вот если издалека – тут возможны различные эффекты. Например, исключительной красоты фракталы – на компьютере их получим сами. Затем научимся решать и системы уравнений с несколькими неизвестными. Для этого потребуются матрицы Якоби. Нужно будет находить решения уравнений и систем, зависящие от параметров. Мы изучим методы интерполяции – как по значениям функции в дискретные моменты времени приближенно оценить ее значения в промежуточные моменты. Если эти значения известны с некоторой погрешностью (шумом), то к какой погрешности это приведет у проинтерполированной функции (иногда такие последствия бывают катастрофическими). Сплайны оказываются намного «устойчивее» к шумам, чем многочлены. Мы рассмотрим различные динамические системы, которые изменяются «по шагам», т.е. с дискретным временем. Размножение популяций с учетом специфики рождаемости и смертности для возрастов. Конечно-разностные уравнения позволяют производить оценки и расчеты. А заодно можно оценивать результаты случайных блужданий по сеткам и решеткам или вероятности выигрыша в игре с постоянной суммой. Помимо решения уравнений матанализ помогает находить экстремумы функций, в том числе и зависящих от многих переменных. Мы выясним, какие бывают «типичные» минимумы и максимумы, что значит «типичный», и насколько редко встречаются нетипичные. И как искать экстремум не среди всех значений параметров, а только среди тех, которые удовлетворяют дополнительным условиям – метод множителей Лагранжа весьма эффективен. А что можно сказать о функции, если известны ее несколько производных в одной точке? Ряд Тейлора иногда весьма хорош, но он имеет некоторые препятствия к сходимости в больших областях. А вот рациональные аппроксимации, придуманные Эрмитом и Паде в конце XIXв часто оказываются намного эффективнее, причем в самых неожиданных приложениях. Мы изучим общие свойства поверхностей и векторных полей, научимся вычислять циркуляцию, дивергенцию и т.п. Оказывается, что свойства векторных полей и дифференциальных форм на поверхностях или в областях могут быть удивительным образом связаны с топологией этих геометрических объектов. Например, с количеством дырок в головке сыра. Расстояния между числами и векторами мы умеем вычислять – теорема Пифагора помогает. Причем не только в R^2 и R^3, но и в пространствах большой или даже бесконечной размерности. Оказывается, такие объекты очень полезны и для обработки больших массивов информации, и для изучения процессов в сложных системах. Мы рассмотрим весьма общие объекты, между которыми можно и полезно вычислять расстояние. Например, расстояние между словами, между кривыми или между функциями. Мы обсудим аналитические и приближенные методы вычисления интегралов. Оказывается, что и тут выход в комплексную область оказывается эффективным. В компьютерных алгоритмах будем интересоваться зависимостью погрешности от числа арифметических операций – алгоритмы должны быть эффективными.

Цель освоения дисциплины

Показать на многочисленных примерах эффективность применения методов математического анализа и линейной алгебры, изученного студентами на 1 курсе.
Расширить круг этих методов, включив в доступный слушателям майнора математический и вычислительный аппарат функции (скалярные и векторные) многих переменных, а также дифференциальные операторы на них действующие; теорию функций комплексного переменного, теорию интерполяции и аппроксимации функций (работа с большими массивами числовой информации), применение теории разностных уравнений для описания различных явлений: эволюция численности популяций, теория игр, задачи о случайных блужданиях, комбинаторные задачи.
Выучить методы программной реализации предложенных алгоритмов. Решение задачи должно начинаться с построения математической модели, затем строится алгоритм численной (часто компьютерной) реализации и написание кода. На семинарах будет уделено внимание эффективности написания кодов и их отладки. Важную роль в профессиональной работе играет работа с графиками: их анализ, проверка правильности и эффективности алгоритма и качественные выводы из графиков. Речь идет как о работе со стандартными пакетами программ, так и об их самостоятельном написании.
Подготовить слушателей к следующим курсам майнора

Планируемые результаты обучения

Умеет доказывать основную теорему алгебры и теорему Безу. Умеет по корням многочлена восстанавливать его коэффициенты. Умеет написать код программы, реализующий метод Герона.
Умеет оценить область гарантированной сходимости метода Ньютона. Умеет написать код для метода Ньютона. Умеет построить фрактальную картину на комплексной плоскости бассейнов притяжения для решения алгебраического уравнения методом Ньютона.
Умеет по матрице Гессе определить тип критической точки гладкой функции нескольких переменных. Умеет написать код для поиска корней системы уравнений методом Ньютона – Рафсона.
Умеет строить функцию Лагранжа для различных вариантов ограничений и определять точки ее вырождения.
Умеет применять инвариантные дифференциальные операторы к функциям и векторным полям на многомерных пространствах. Владеет аппаратом дифференциальных форм. Умеет применять варианты теоремы Стокса для вычисления многомерных интегралов типа потока, циркуляции и т. п. Понимает связь между структурой кольца дифференциальных форм и топологией области.
Владеет основными понятиями теории метрических пространств, сходимости, непрерывных отображений. Знает различные примеры метрических пространств. Умеет доказывать теорему о существовании и единственности сжимающего отображения в полном метрическом пространстве и применять ее к конкретным примерам, в том числе с помощью программных кодов.
Знает основные свойства линейных нормированных пространств. Умеет доказывать основную теорему аппроксимации. Знает основные свойства гильбертовых пространств. Умеет доказывать неравенства Гельдера и Минковского. Умеет построить ортогональный базис в пространстве функций. Умеет сформулировать лемму вложения Соболева.
Умеет строить собственные базисы для дифференциальных операторов с постоянными и кусочно-постоянными коэффициентами при разных вариантах граничных условий. Умеет раскладывать функции по собственным базисам (в ряды Фурье). Умеет реализовывать такие разложения с помощью программных кодов.
Знает основные свойства линейных конечно-разностных уравнений и систем произвольного порядка. Умеет по корням характеристического уравнения определить асимптотику решения на бесконечности. Умеет программно реализовать модели, основанные на решении линейных и нелинейных конечно-разностных систем.
Умеет программно реализовать алгоритмы оценки вероятности выигрыша, предельное поведение марковской цепи и скорость ее выхода на стационар. Умеет объяснить связь между случайным блужданием на решетке и решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Умеет программно реализовать алгоритм построения интерполяционного многочлена и оценить константу Лебега (усиление амплитуды шумов при интерполяции с данной сетки).
Умеет оценивать невырожденность трехдиагональной матрицы с помощью теоремы Гершгорина. Может программно реализовать алгоритм метода прогонки.
Понимает условия существования рациональной аппроксимации Паде – Эрмита. Умеет программно реализовать алгоритм построения коэффициентов аппроксимирующей рациональной функции. Умеет построить на комплексной плоскости изолинии погрешности аппроксимации Паде - Эрмита.
Умеет программно реализовать компактные алгоритмы приближенного вычисления с высоким порядком точности производных и в точках самой сетки, и в промежуточных точках, а также решение задачи интерполяции. Умеет оценивать обратимость соответствующих матриц.
Умеет программно реализовывать различные квадратурные формулы для одномерных определенных интегралов. Понимает значение оптимизации расположения узлов квадратурной формулы.
Умеет доказывать основные теоремы комплексного анализа. Умеет вычислять определенные интегралы с помощью вычетов. Умеет программно реализовывать вычисление интегралов по кривой на комплексной плоскости от комплексно-значной функции.
Знает простейшие типы вырожденных критических точек. Владеет понятием свойства системы, выполняющегося в общем положении и понятием коразмерности вырождения.

Содержание учебной дисциплины

Корни многочленов.
Комплексные числа и их свойства. Основная теорема алгебры. Извлечение квадратного корня из вещественных и комплексных чисел итерационным методом Герона. Существование периодических точек и уход решения на бесконечность.
Итерационные методы поиска корней и бассейны притяжения
Метод Ньютона для итерационного решения сложных нелинейных уравнений. Стационарные (неподвижные) точки итерационного процесса бывают устойчивые и неустойчивые. Бассейны притяжения стационарных точек. Сверхсходимость метода Ньютона в окрестности корня уравнения. Устойчивость периодических решений. Случай кратных корней – как ускорить процесс вычислений. Бассейны притяжения для решения квадратного уравнения – что происходит на прямой - границе бассейнов притяжения двух корней. Бассейны притяжения для решения кубического уравнения. Невыполненное обещание Кэли. Фракталы. Бифуркации.
Функции нескольких переменных
Функции нескольких переменных. Матрица Якоби. Экстремумы и стационарные (критические) точки гладких функций нескольких переменных. Матрица Гессе. Для каких функций можно гарантировать ее симметричность. Теорема о неявной функции. Метод Ньютона – Рафсона для численного решения систем нелинейных уравнений.
Условные экстремумы
Условные экстремумы функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа.
Стационарные точки и общее положение
Лемма Морса. Примеры вырожденных стационарных точек. Понятие общего положения системы – что в жизни может случиться, а что – нет. Теорема о трансверсальности.
Дифференциальные формы и теорема Стокса
Векторный анализ. Градиент, дивергенция, ротор. Оператор Лапласа. Дифференциальные формы. Гомотопии и гомологии. Всегда ли безвихревое векторное поле градиентное? Теорема Стокса и ее варианты.
Метрические пространства
Примеры. Ограниченные и сходящиеся последовательности. Замкнутые и открытые множества. Замыкание. Пополнение. Неподвижная точка сжимающего отображения
Пространства функций
Линейные пространства, конечномерные и бесконечномерные. Пространства функций. Нормированные пространства. Гильбертовы пространства. Пространства Соболева.
Собственные функции и их приложения
Базисы в пространстве функций: ряды Фурье и ортогональные полиномы. Собственные функции и собственные числа дифференциальных операторов.
Конечно-разностные уравнения и системы
Динамика численности популяции. Последовательность Фибоначчи. Конечно-разностные уравнения, линейные и нелинейные. Задача Коши. Конечно-разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай кратных корней. Системы конечно-разностных уравнений. Модель Лесли – динамика численности популяции с учетом различий возрастных групп. Когда численность растет на больших временах.
Случайные блуждания и игры
Задача об игре с постоянной суммой (случайные блуждания на сетке). Вероятность выигрыша. Среднее время игры. Зависимость от размера ставки в одном гейме. Игра с возможностью ничьей. Случай инерции проигрыша. Задача блужданий на решетке и уравнение Лапласа. Марковские цепи.
Интерполяция и устойчивость к шумам
Как по значениям функции на дискретной сетке точек восстановить ее значения на всем отрезке – задача интерполяции. Интерполяция Лагранжа. Базис в пространстве многочленов заданной степени. Достоинства и недостатки использования многочлена высокого порядка. Константа Лебега.
Сплайны
Кубические сплайны Шонберга дефекта 1 и изгиб балки под действием точечных нагрузок. Необходимость граничных условий для построения интерполяционного сплайна. Сплайн наилучшего приближения. Метод прогонки для трехдиагональной СЛАУ.
Ряды Тейлора и аппроксимация Паде
Аппроксимация гладкой функции рядом Тейлора. Граница области сходимости ряда Тейлора с центром в нуле для функции . Пример Коши. Аппроксимация Паде – Эрмита гладкой функции и ее преимущества. Всегда ли она возможна. Формула Перрона. Векторное обобщение рациональной аппроксимации.
Компактные разностные схемы
Компактные разностные схемы для приближенного вычисления производных от функций, заданных на дискретной сетке. Метод компактной интерполяции. Компактные разностные схемы на двумерных сетках.
Квадратурные формулы
Квадратурные формулы для приближенного вычисления интегралов от функции на отрезке: прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса. Порядок точности квадратурной формулы.
Введение в комплексный анализ
Уравнения Коши – Римана (Даламбера – Эйлера). Голоморфные функции. Интеграл Коши. Ряд Тейлора и круг его сходимости. Уравнение Лапласа и гармонические функции. Теорема о среднем.

Элементы контроля

Домашняя работа
Контрольная работа
Оценка качества компьютерных программ, отлаженных на программистской части семинаров
Оценка ответов и решение задач на теоретической части семинаров
Экзамен
Включает теоретическую часть и решение задачи на компьютере

Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация (2 модуль)
0.1 * Домашняя работа + 0.1 * Контрольная работа + 0.15 * Оценка качества компьютерных программ, отлаженных на программистской части семинаров + 0.15 * Оценка ответов и решение задач на теоретической части семинаров + 0.5 * Экзамен

Программа дисциплины