• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
2020/2021

Дополнительные главы алгебры

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 1, 2 модуль
Охват аудитории: для своего кампуса
Преподаватели: Чепуркин Константин Михайлович
Язык: русский
Кредиты: 2

Программа дисциплины

Аннотация

Является факультативом для бакалавров и магистров. Целью освоения является ознакомление слушателей с основными структурами современной алгебры. В рамках курса слушатели изучают основы теории групп, а также кольца и поля. В результате освоения дисциплины студент должен знать: основные факты о таких алгебраических структурах, как группы, кольца и поля; освоить алгоритмические аспекты современной алгебры. Студент должен уметь: производить базовые вычисления с алгебраическими структурами, применять изученные факты и методы в прикладных задачах. Студент должен владеть:навыками работы с конечными группами и конечными полями, овладеть основными техническими приемами алгебры многочленов и теории абелевых групп.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • формирование у студентов теоретических знаний и практических навыков по линейной алгебре, теории колец, а так же по применению этих теорий для решения задач криптографии, построения кодов, исправляющих ошибки и других алгоритмических вопросах.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • − Знать основная теорема арифметики в кольце многочленов над полем, строение конечных полей, коды БЧХ.
  • − Уметь находить линейное разложение наибольшего общего делителя целых чисел и многочленов, находить явно класс обратного элемента в кольце вычетов по простому модулю, находить решения сравнений по составному модулю, владеть основными приѐмами для проверки многочлена на неприводимость, иметь представление об алгоритмах разложения на множители,
  • − Иметь навыки (приобрести опыт) обращения с основными алгебраическими объектами и конструкциями, уметь привести примеры таких объектов, знать основные идеи их практического применения.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Дополнительные главы линейной алгебры
    Спектральное разложение. SVD-разложение. Спектры графов. Ортогональные операторы. Кватернионы
  • Многочлены от многих переменных
    Лемма Гаусса, факториальность кольца многочленов от многих переменных над полем, критерии неприводимости для многочленов от одной переменной, способы разложения целочисленного многочлена на неприводимые множителиСимметрические многочлены, элементарные симметрические многочлены, основная теорема о симметрических многочленах, результант и дискриминант.
  • Конечные поля и коды, исправляющие ошибки, базовые конструкции теории числе
    Строение конечных полей, алгоритмы Берлекэмпа и Кантора-Цассенхауза, коды исправляющие ошибки, коды БЧХ Базовые конструкции теории чисел. Арифметические функции. Производящие функции Дирихле. Свѐртка Дирихле. Формула обращения Мѐбиуса. Примеры использования.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
  • блокирующий УСТНЫЙ ЭКЗАМЕН
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (2 модуль)
    0.51 * ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ + 0.49 * УСТНЫЙ ЭКЗАМЕН
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Курс алгебры, Винберг, Э. Б., 2019

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Алгеброгеометрические коды : основные понятия, Влэдуц, С. Г., Ногин, Д. Ю., 2003
  • Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии, Василенко, О. Н., 2006