• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Версия для слабовидящихЛичный кабинет сотрудника ВШЭПоиск
2018/2019

Научно-исследовательский семинар "Случайные матрицы, случайные процессы и интегрируемые модели"

Статус: Дисциплина общефакультетского пула
Когда читается: 3, 4 модуль
Язык: русский
Кредиты: 5

Программа дисциплины

Аннотация

В последние годы обнаружились неожиданные связи между, на первый взгляд, совершенно разными задачами математики и физики. С математической стороны это комбинаторные и вероятностные задачи о системах с большим числом степеней свободы: описание собственных значений матриц со случайными элементами, статистика случайных диаграмм Юнга, замощение различных областей плоскости доминошками или ромбиками, перечисление непересекающихся путей на решётках. С физической стороны это задачи о распространении границ разделов между средами, потоках взаимодействующих частиц, полимерах в неупорядоченных средах и т. д. Ключевое явление здесь — «интегрируемость», влекущая множество красивых и точных математических результатов, столь же общезначимых, как закон больших чисел или центральная предельная теорема. Рассматривая наши случайные системы издалека, мы обнаруживаем, что они имеют совершенно неслучайные предельные формы, случайные отклонения от которых описываются небольшим числом универсальных вероятностных распределений, совершенно не зависящих от деталей исходных систем. Предварительная подготовка: Математический анализ, линейная алгебра, теория функций комплексного переменного, теория вероятности.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Знакомство с проблемами случайных матриц и случайных процессов и изучение последних достижениях в этой области.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Понимает связь между случайными матрицами, случайными процессами и интегрируемыми моделями
  • Умеет решать задачи связанные со случайными процессами и интегрируемыми моделями
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Распределение собственных значений вигнеровских матриц
    Полукруглый закон Вигнера. Метод моментов.
  • Инвариантные матричные ансамбли.
    Основы теории детерминантных процессов. Определители Фредгольма.
  • Распределение собственных значений ковариционных выборочных матриц.
    Закон Пастура – Марченко. Метод распределения Стильтьеса.
  • Метод ортогональных многочленов.
    Построение корреляционных ядер в ортогональном и симплектическом ансамблях.
  • Универсальные распределения
    Универсальные распределения: процессы синус, Эйри и Бесселя. Распределения Трейси Уидома.
  • Теорема Карлина – Макгрегора.
    Построение расширенных процессов в задачах о непересекающихся броуновских мостах.
  • Одна задача с разными лицами
    Одна задача с разными лицами: рост поверхностей, частицы с отталкиванием, задача о времени перколяции последнего достижения и задача о максимальной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки. Соответсвие Робинсона – Шенстеда – Кнута.
  • Теорема Гесселя – Виенно о непересекающихся путях.
    Подсчет пар таблиц Юнга и процесс Шура.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Накопленная оценка
  • неблокирующий Итоговый экзамен
    Все числа округляются до ближайшего большего целого
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • Промежуточная аттестация (4 модуль)
    0.3 * Итоговый экзамен + 0.7 * Накопленная оценка
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Бородин А.Н. - Случайные процессы - Издательство "Лань" - 2013 - 640с. - ISBN: 978-5-8114-1526-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/12935

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Bai, Z., & Silverstein, J. W. (2010). Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices (Vol. 2nd ed). New York: Springer. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsebk&AN=341481