2020/2021

Практическая линейная алгебра

Лучший по критерию «Полезность курса для Вашей будущей карьеры»

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Факультатив

Кто читает: Департамент математики

Когда читается: 1, 2 модуль

Преподаватели: Пионтковский Дмитрий Игоревич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 56

Программа дисциплины

Аннотация

Линейная алгебра является одной из базовых математических дисциплин. Несмотря на её фундаментальный характер, у нее есть достаточно много «прямых», но вполне эффектных приложений. Курс посвящен знакомству с такими приложениями и ме-тодами, которые, при всей своей элементарности, обычно находятся за пределами стандартных курсов бакалавриата.

Цель освоения дисциплины

• Курс посвящен знакомству с такими приложениями и методами, которые, при всей своей элементарности, обычно находятся за пределами стандартных курсов бака-лавриата. Другой основной целью курса является формирование и развитие навыков применения методов линейной алгебры к задачам, возникающим в других областях науки, бизнеса и, особенно, анализа данных.

Содержание учебной дисциплины

• Практическая линейная алгебра: введение и план курса
  Тема I. Псевдообратная матрица и метод наименьших квадратов Псевдообратная матрица (обратная Мура--Пенроуза), ее определения, основ-ные свойства и способы вычисления. Основы метода наименьших квадратов, реше-ние линейной задачи на метод наименьших квадратов с помощью псевдообратной матрицы. Понятие о линейной регрессии, примеры решения практических задач. Разложение полного ранга и SVD. Использование этих разложений для по-строения псевдообратной матрицы. Тема II. Знакомство с метриками и нормами Метрики в нормированных пространствах. Открытые и замкнутые множе-ства в метрических пространствах, окрестности, связь с понятием предела. Эквива-лентность норм и эквивалентность топологий. Теорема об эквивалентности норм в конечномерных пространствах. Тема III. Аппроксимация и многочлены Чебышева Примеры норм и метрик в пространствах функций, связь с задачами аппрок-симации. Многочлены Чебышева как наименее уклоняющиеся от нуля, их графики. Ортогональность, разложение многочленов по базису из многочленов Чебышева. Тема V. Функции от матриц Функции от матриц (определение через спектр). Многочлены от матриц, ми-нимальный многочлен матрицы. Многочлен Лагранжа. Матричные ряды. Представ-ление элементарных функций рядами Тейлора. Вычисление матричных функций и оценка остаточного члена через спектральный радиус. Тема VI. Элементы теории возмущений Оценки собственных значений, теоремы Гершгорина. Число обусловленно-сти матрицы. Связь с обусловленностью систем линейных уравнений. Примеры приближенного решения систем линейных уравнений. *Методы решения больших систем линейных уравнений: обзор и примеры. Тема VII. Линейная алгебра и задачи оптимизации Задача линейного программирования. Примеры. Связь прямой и двойствен-ной задачи. *Методы решения задачи линейного программирования, симплекс-метод. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. *Тропическая алгебра. Тропические системы уравнений, линейная алгебра над тропическим полукольцом. Приложения к теории расписаний и изучению блужданий на графах. *Численные методы решения минимизации среднеквадратичного отклонения с линейными ограничениями. *Задача квадратичного программирования и алгоритмы ее решения. *Задача выпуклого программирования и методы ее решения.
• Аппроксимация функций многочленами
  Многочлены Чебышева. Основные нормы и скалярные произведения в простран-ствах функций. Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля. Ортогональные си-стемы полиномов. Аппроксимация функций многочленами.
• Полиномиальная интерполяция
  Задача полиномиальной интерполяции. Многочлен Лагранжа. Интерполяция с кратными узлами, многочлен Эрмита (Лагранжа-Сильвестра). Полиномиальные сплайны. Кривые Безье, сплайны Безье.
• Метрики и нормы. Матричные нормы
  Метрические и нормированные пространства. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве. Теорема Минковского о единичном шаре в n-мерном пространстве. Матричные нормы, их связь с векторными нормами. Нормы Гельдера и Фробениуса. Спектральный радиус, связь с нормами.
• Элементы теории возмущений
  Оценки собственных значений, теоремы Гершгорина. Число обусловленности матрицы. Связь с обусловленностью систем линейных уравнений. Примеры приближенного решения систем линейных уравнений.
• Итеративные методы
  Метод простой итерации. Приведение системы к виду, пригодному для итерации. Метод Зейделя и метод Якоби. Проблема собственных значений и итеративные методы. Неотрицательные матрицы. Теорема Перрона-Фробениуса. Линейная производственная модель и продуктивные матрицы. Алгоритм PageRank и индексы влияния в социальных сетях. *Методы решения больших систем линейных уравнений: обзор и примеры.
• Линейная алгебра и задачи оптимизации
  Задача линейного программирования. Примеры. Связь прямой и двойственной задачи. *Методы решения задачи линейного программирования, симплекс-метод. *Численные методы решения минимизации среднеквадратичного отклонения с линейными ограничениями. *Задача квадратичного программирования и алгоритмы ее решения. *Задача выпуклого программирования и методы ее решения.
• Псевдообратная матрица и метод наименьших квадратов
  Псевдообратная матрица (обратная Мура--Пенроуза), ее определения, основ-ные свойства и способы вычисления. Основы метода наименьших квадратов, реше-ние линейной задачи на метод наименьших квадратов с помощью псевдообратной матрицы. Понятие о линейной регрессии, примеры решения практических задач. Разложение полного ранга и SVD. Использование этих разложений для по-строения псевдообратной матрицы.

Элементы контроля

• Домашняя контрольная работа
• Домашняя контрольная работа с индивидуальными вариантами.

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (2 модуль)
  Итоговая оценка Оитог по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма Оитог=0,5*Ок.р.+0,5*Озач + 0,5*Одокл , округленная до целого числа баллов, не превосходящего 10. Ок.р. и Озач обозначают оценки по 10-балльной шкале за промежуточную и итоговую контрольную работу, Одокл -- оценку за выступление с докладом по индивидуальному проекту, реализованному студентом.

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: Учебное пособие / Г.С. Шевцов. - 3-e изд., испр. и доп. - М.: Магистр: НИЦ ИНФРА-М, 2014. - 544 с.: 60x90 1/16. (переплет) ISBN 978-5-9776-0258-7 - Режим доступа: http://znanium.com/catalog/product/438021

Рекомендуемая дополнительная литература

• Fuad Aleskerov, Hasan Ersel, & Dmitri Piontkovski. (2011). Linear Algebra for Economists. Springer. Retrieved from http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&site=eds-live&db=edsrep&AN=edsrep.b.spr.sptbec.978.3.642.20570.5