Бакалавриат 2021/2022

Случайные процессы

Статус: Курс по выбору (Прикладная математика и информатика)

Направление: 01.03.02. Прикладная математика и информатика

Кто читает: Департамент больших данных и информационного поиска

Где читается: Факультет компьютерных наук

Когда читается: 4-й курс, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Демидова Дарья Сергеевна, Каледин Максим Львович

Язык: русский

Кредиты: 4

Контактные часы: 44

Программа дисциплины

Аннотация

Случайные процессы — широко используемый набор инструментов для моделирования во многих прикладных областях: финансовой математике, макроэкономике, физике. Эволюции цен, диффузия, потоки заявок для обработки, путешествие пользователя по ресурсам сети Интернет —— это лишь малая часть явлений, которые с их помощью можно исследовать. В нашем курсе мы хотели бы, с одной стороны, предоставить хороший фундамент для дальнейшего более самостоятельного изучения специальных областей, а с другой —— предоставить несколько интересных примеров, как связать это знание с компьютером и научиться не только доказывать интересные факты, но и смело строить решения практических задач в виде программ.

Цель освоения дисциплины

• Обладать базовым инструментарием для исследования цепей Маркова и Марковских процессов
• Знать, как строится стохастический интеграл Ито и Стратоновича и как их применять и вычислять
• Знать, как определяется стохастическое дифференциальное уравнение Ито и как оно связано со стохастическим интегралом
• Быть знакомым с некоторыми приложениями стохастических дифференциальных уравнений и Винеровского процесса к задачам финансовой математики
• Быть знакомым с некоторыми задачами из теории массового обслуживания и подходами к их решению

Планируемые результаты обучения

• Знать некоторые примеры практических приложений, в которых случайные процессы помогают в моделировании
• Знать, что такое случайный процесс и как их можно задавать
• Обладать базовым инструментарием для исследования мартингалов
• Уметь использовать Винеровский процесс для моделирования и задавать с его помощью более сложные процессы
• Уметь использовать Пуассоновский процесс для моделирования и задавать с его помощью более сложные процессы

Содержание учебной дисциплины

• Напоминание теории вероятностей.
• Определение случайного процесса, основные понятия (матожидание и моменты, стационарность в узком и широком смысле, ковариационная функция процесса), первые примеры.
• Цепи Маркова. Стационарное распределение, эргодическая теорема. Общие цепи Маркова (необязательное конечное число состояний, но время дискретно). Примеры.
• Винеровский процесс (Броуновское движение). Определение, конструкция, выбор п.н. непрерывной модификации, недифференцируемость траектории.
• Процессы на основе Винеровского. Процесс Орнштейна-Уленбека, Геометрическое Броуновское движение. Модель Блэка-Шоулза и основные её проблемы.
• Пуассоновские процессы, прикладные примеры. Моменты и ковариационная функция. Потоки заявок, системы массового обслуживания.
• Марковские процессы. Основные свойства и факты, переходные ядра.
• Мартингалы. Моменты остановки. Разложение Дуба-Мейера. Теорема о свободном выборе.
• Стохастический интеграл Ито, мотивация. Конструкция интеграла Ито. Формула Ито, теорема Ито об изометрии.
• Стохастические дифференциальные уравнения и их базовая теория. Применение формулы Ито для аналитического исследования. Примеры.

Элементы контроля

• Домашнее задание 1
  Содержит несколько теоретических задач и jupyter-ноутбук с практическими задачами на программирование. Выдаётся после 4 или 5 лекции. На выполнение даётся 2 недели, с возможностью поздней сдачи (мягкий дедлайн, -20% за неделю просрочки, суммарный штраф не более 80%).
• Домашнее задание 2
  Выдаётся после 6 или 7 лекции и содержит несколько теоретических задач и jupyter-ноутбук с практическими задачами на программирование. На выполнение даётся 2 недели, с возможностью поздней сдачи (мягкий дедлайн, -20% за неделю просрочки, суммарный штраф не более 80%).
• Экзамен
  Экзамен проходит в устной форме, возможно проведение экзамена в аудитории или онлайн. Студент получает случайным образом один билет, содержащий один теоретический вопрос по содержанию лекций и одну задачу. Во время подготовки студент может использовать любые информационные материалы, в том числе электронные, и любые устройства для арифметических вычислений. Студенту в процессе ответа могут быть заданы как дополнительные вопросы, так и дополнительные задачи.

Промежуточная аттестация

• 2021/2022 учебный год 3 модуль
  0.4 * Экзамен + 0.3 * Домашнее задание 2 + 0.3 * Домашнее задание 1

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Bernt Øksendal. (2010). Stochastic Differential Equations : An Introduction with Applications (Vol. 6th ed. 2003). Springer.
• Коралов, Л. Б. Теория вероятностей и случайные процессы / Л. Б. Коралов, Я. Г. Синай ; под редакцией Б. М. Гуревича ; перевод с английского Э. В. Переходцевой. — Москва : МЦНМО, 2014. — 408 с. — ISBN 978-5-4439-2073-3. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/71821 (дата обращения: 00.00.0000). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
• Теория случайных процессов и ее инженерные приложения : учеб. пособие для вузов, Вентцель, Е. С., 2000

Рекомендуемая дополнительная литература

• Основы стохастической финансовой математики. Т. 1: Факты. Модели, Ширяев, А. Н., 2016
• Теория случайных процессов, Булинский, А. В., 2003