Математический анализ 1

Бакалавриат 2021/2022

Статус: Курс обязательный (Совместная программа по экономике НИУ ВШЭ и РЭШ)

Направление: 38.03.01. Экономика

Кто читает: Отдел сопровождения учебного процесса в Совместном бакалавриате ВШЭ-РЭШ

Где читается: Факультет экономических наук

Когда читается: 1-й курс, 1, 2 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Бекетов Максим Евгеньевич, Болбачан Василий Сергеевич, Трофимова Анастасия Алексеевна, Щуров Илья Валерьевич, Эрлих Иван Генрихович

Язык: русский

Кредиты: 7

Контактные часы: 128

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Дисциплина предназначена для студентов 1 курса бакалавриата.Студенты познакомятся с фундаментальными математическими понятиями; Овладеют азами математической культуры доказательства утверждений, получат аналитическую базу для изучения последующих математических и специализированных курсов, познакомятся с программным обеспечением, позволяющим решать задачи математического анализа. Изучение дисциплины «Математический анализ» – 1 не требует какой бы то ни было предварительной математической подготовки сверх обычной программы средней школы. Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: эконометрика; микроэкономика; макроэкономика; дифференциальные уравнения

Цель освоения дисциплины

Обучение студентов фундаментальным математическим понятиям
Знакомство студентов с программным обеспечением, позволяющим решать задачи математического анализа
Формирование у студентов математической культуры доказательства утверждений
Предоставление студентам аналитической базы для изучения последующих математических и специализированных курсов

Планируемые результаты обучения

Знает общие теоремы о необходимых или достаточных условиях безусловногого или условного экстремума, о свойствах суммы функционального ряда, критерии выпуклости или вогнутости функций многих переменных
Знает свойства градиента и матрицы Тейлора векторных функций с числовыми значениями, их место в формуле Тейлора для таких функций
Знает точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых модельных примерах

Содержание учебной дисциплины

Тема 1. Введение. Математическое доказательство Утверждения. Вывод утверждений. Математическая индукция. Доказательство от противного.
Тема 3. Предел функции Предел функции по Коши и по Гейне. Эквивалентность двух определений. Арифметические свойства пределов. Композиция функций. Предел сложной функций. Вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Тема 4. Непрерывность функции Непрерывность функции в точке и на множестве. Замечательные пределы. Предельная точка множества. Открытые и замкнутые множества на числовой прямой. Компакт. Операции с множествами и их свойства. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема о промежуточном значении. Ограниченность функции, непрерывной на отрезке. Достижение точной верхней (нижней) грани функцией, непрерывной на отрезке.
Тема 5. Производная функции Производная функции. Связь дифференцируемости и непрерывности функции в точке. Производная сложной функции. Обратная функция. Производная обратной функции. Табличные производные. Связь значения производной и возрастания (убывания) функции. Локальные и глобальные экстремумы функций одной переменной. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Исследование функций одной переменной. Построение эскизов графиков. Теорема Ролля. Теорема Коши. Теорема Лагранжа.
Тема 6. Правило Лопиталя Раскрытие неопределенностей вида 0 0 и ∞ ∞ при вычислении предела отношения функций. Правило Лопиталя.
Тема 7. Формула Тейлора О-символика. Приближение функции многочленами Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Применение формулы Тейлора к табличным функциям. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.
Тема 9. Неопределенный интеграл Первообразная. Связь между различными первообразными одной функции. Неопределенный интеграл. Вычисление неопределенных интегралов. Интегрирование по частям. Замена переменной.
Тема 10. Определенный интеграл Интегральные суммы. Определенный интеграл. Корректность определения. Правила вычисления определенного интеграла: арифметические свойства, интегрирование по частям, замена переменной. Интегрируемость и непрерывность. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей фигур и объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.
Тема 11. Числовые и функциональные ряды. Ряд Тейлора Числовой ряд и его частичные суммы. Сходимость. Достаточные условия сходимости. Сумма членов геометрической прогрессии. Функциональный ряд и его частичные суммы. Область сходимости. Ряд Тейлора. Разложения в ряд Тейлора некоторых функций.
Тема 2

Элементы контроля

Самостоятельные работы на семинарах (СР)
Контрольная работа (КР)
10% итоговой оценки
Коллоквиум (КОЛ)
Письменные домашние задания (ДЗ)
25% итоговой оценки
Итоговая работа (ИР)
30% итоговой оценки
Дополнительные задания (ДОП)

Промежуточная аттестация

2021/2022 учебный год 1 модуль
0.25 * Дополнительные задания (ДОП) + 0.25 * Коллоквиум (КОЛ) + 0.25 * Самостоятельные работы на семинарах (СР) + 0.25 * Письменные домашние задания (ДЗ)
2021/2022 учебный год 2 модуль
0.5 * 2021/2022 учебный год 1 модуль + 0.25 * Итоговая работа (ИР) + 0.25 * Контрольная работа (КР)

Программа дисциплины