2021/2022
Научно-исследовательский семинар "Математические основы квантовой механики"
Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»
Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»
Статус:
Дисциплина общефакультетского пула
Кто читает:
Факультет математики
Где читается:
Факультет математики
Когда читается:
1, 2 модуль
Охват аудитории:
для всех кампусов НИУ ВШЭ
Язык:
русский
Кредиты:
6
Контактные часы:
60
Программа дисциплины
Аннотация
Данный курс представляет собой введение в квантовую механику для студентов-математиков, не требующее серьёзной базы физических знаний. Квантовая механика является важнейшим инструментом для исследования явлений микромира и в настоящее время входит в обязательный образовательный минимум физиков-теоретиков и специалистов по математической физике. Модели квантовой механики послужили и продолжают служить источником вдохновения в открытии множества общезначимых и красивых конструкций и методов современной математики: в теории представлений групп и алгебр Ли, в функциональном анализе, в деформационном и геометрическом квантовании, теории квантовых групп и других. Курс рассчитан на студентов 3–4 года бакалавриата и магистрантов, не имеющих физического образования. Специальных знаний по физике не требуется, хотя знакомство с механикой и классической теорией поля облегчит восприятие материала. Математическая подготовка в объеме базовых курсов 1-го и 2-го года бакалавриата вполне достаточна: требуется владение основами алгебры, анализа и теории дифференциальных уравнений. Потребуются также первичные знания по теории представлений алгебр Ли, обобщенных функций, функционального анализа, статистики и теории вероятностей, которые, впрочем, будут вводиться на лекциях.
Цель освоения дисциплины
- Цель нашего курса—познакомить студентов-математиков с основными идеями и принципами квантовой механики и ее математическим аппаратом с иллюстрацией на достаточно простых и фундаментальных моделях.
Планируемые результаты обучения
- Владеет математическим аппаратом квантовой механики, включая базовые понятия и технику теории обобщенных функций, гильбертовых пространств, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений в частных производных, теории возмущений, теории представлений и функционального интегрирования.
- Владеет математическим аппаратом квантовой механики, включая базовые понятия и технику теории обобщенных функций, гильбертовых пространств, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений в частных производных. Умеет строить собственные функции гамильтониана атома водорода в сферических координатах.
- Владеет навыками самостоятельного квантования простых моделей нерелятивистской классической механики.
- Имеет представление о физических основаниях квантовой механики, понимает взаимоотношения квантовой механики с классическими механикой и теорией поля.
- Понимает статистический смысл основных операций и объектов пространства состояний: скалярных произведений, спектра наблюдаемых и т.п. Умеет находить распределения вероятностей измерений различных наблюдаемых в простых моделях и рассчитывать эволюцию состояния.
- Умеет находить вероятности перехода из заданного начального состояния системы в конечное в процессе измерения полного набора наблюдаемых.
- Умеет строить конечномерные унитарные представления алгебры Ли su(2), находить спектр оператора квадрата углового момента и компонент углового момента.
- Умеет строить обобщенные собственные векторы, отвечающие непрерывному спектру операторов координаты и импульса, вычислять плотность амплитуды вероятности распределения координаты и значений импульса в чистых состояниях квантовой системы. Умеет находить спектр связанных состояний в одномерной потенциальной яме.
- Умеет строить представления симметрической группы, отвечающие различным диаграммам Юнга, находит состояния системы тождественных частиц с заданными свойствами.
- Умеет строить пространство состояний гармонического осциллятора, находить его спектр и собственные вектора.
Содержание учебной дисциплины
- Недостаточность классического описания явлений микромира
- Основные постулаты канонического (операторного) квантования.
- Квантование гармонического осциллятора
- Оснащенное гильбертово пространство, свободная частица, общие свойства одномерного движения.
- Полный набор наблюдаемых и проблема измерения
- Трехмерное движение в центральном поле
- Общая теория углового момента
- Симметрии квантовых систем и законы сохранения
- Квантовая теория тождественных частиц.
- Интегрируемые модели квантовой механики.
Элементы контроля
- Самостоятельное решение листков с задачами и сдача их преподавателю
- Устный ответ на эзамене. Билет содержит 2 вопроса по теориии и одну задачу.
Промежуточная аттестация
- 2021/2022 учебный год 2 модульЕсли накопленная оценка НАКОП превышает 8 баллов (до округления), то студент получает автомат с этой оценкой. В противном случае студент сдает устный экзамен и итоговая оценка за курс вычисляется по формуле 0б*НАКОП+0,4*ЭКЗАМЕН.
Список литературы
Рекомендуемая основная литература
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика. Т.2. Теория поля - Издательство "Физматлит" - 2006 - ISBN: 5-9221-0056-4 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2236
- Теоретическая физика. Т.3: Квантовая механика (нерелятивистская теория), , 2002
Рекомендуемая дополнительная литература
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика Т.3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) - Издательство "Физматлит" - 2001 - ISBN: 5-9221-0057-2 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/2380