• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2011/2012

Научно-исследовательский семинар "Торическая геометрия"

Статус: Курс по выбору
Направление: 010100.62 Математика
Когда читается: 3-й курс, 1-4 модуль
Преподаватели: Городенцев Алексей Львович (автор и ведет семинары), Кириченко Валентина Алексеевна (автор и ведет семинары)
Язык: русский
Кредиты: 4.5
В. А. Кириченко
  1. (для 1-2 курсов) Многогранники Ньютона и теорема Кушниренко. 
    Классическая теорема Безу о числе общих нулей n многочленов от n комплексных переменных верна для многочленов общего положения, и выражает число нулей через степени многочленов. Теорема Кушниренко обобщает теорему Безу, и выражает число нулей через многогранники Ньютона ("обобщeнные степени") многочленов. 
    Литература:
  2. (для 1-3 курсов) Многочлены Шуберта. 
    По каждой перестановке n элементов можно определить многочлен от n переменных с целыми коэффициентами (многочлен Шуберта). Многочлены Шуберта изначально возникли для описания исчисления Шуберта на многообразии полных флагов в n-мерном пространстве (обобщении грассманиана), а затем стали активно изучаться комбинаторными методами. Тема для 1-2 курса — теорема Кириллова-Фомина, дающая комбинаторное описание мономов в многочлене Шуберта через приведeнные диаграммы (pipe-dreams), реализуюшие данную перестановку. Тема для самостоятельного обдумывания - доказательство теоремы Кириллова-Фомина через митоз. Тема для 3 курса - теорема Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда и Демазюра о представлении циклов Шуберта на многообразии полных флагов многочленами Шуберта). 
    Литература:
    • L. Manivel // Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci. SMF/AMS Texts and Monographs 6, 2001; (имеется неопубликованный русский перевод) 
      Очень хорошо написанная книга о комбинаторике и геометрии многообразий флагов, в частности, в главе 2 содержится теорема Кириллова-Фомина с доказательством
    • A. Kirillov, S. Fomin // The Yang-Baxter equation, symmetric functions, and Schubert polynomials, Discrete Mathematics, 153 (1996), 123-143
    • Ezra Miller // Mitosis recursion for coefficients of Schubert polynomials, J. Comb. Theory A, 103 (2003), no. 2, 223-235 
      Элементарный комбинаторный алгоритм (митоз) для выписывания всех приведeнных диаграмм с данной перестановкой индукцией по длине перестановки. Также может быть использован для доказательства теоремы Кириллова-Фомина
  3. (для 2 курса) Цепная дробь для числа e (основания натурального логарифма). 
    Интересно, что коэффициенты цепной дроби для e подчиняются простой закономерности. 
    Литература:
  4. (для 2-3 курсов) Группа монодромии гипергеометрической функции Гаусса. 
    Гипергеометрическая функция Гаусса 2F1(a, b, c; z)- специальная функция одной комплексной переменной. Может быть задана как сумма (гипергеометрического) ряда, как интеграл или как решение фуксова дифференциального уравнения второго порядка с тремя особыми точками. Группу монодромии гипергеометрической функции можно найти явно (например, задать образующими и соотношениями), в частности, можно узнать при каких значениях комплексных параметров a,b,c она разрешима, коммутативна или конечна. 
    Литература: (все необходимые определения и методы для решения задачи можно найти в этих книгах, но самого решения в них нет)
    • A.A.Болибрух // Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения
    • В.И.Смирнов // Курс высшей математики (том 3, часть 2), 7-е издание, глава 5, пп 95-104
    • Г.Бейтмен, А.Эрдейи // Высшие трансцендентные функции (том 1), глава 2, пп 2.1-2.7
  5. (для 3-го курса) Сколько коник (на комплексной проективной плоскости) касается пяти данных коник ? 
    Классическая задача исчислительной геометрии, поставленная Штейнером и решeнная Шалем. Имеет важное историческое значение, так как поиски строгого решения стимулировали развитие разных областей алгебраической геометрии. 
    Литература:
    • Ф. Гриффитс, Дж. Харрис // Принципы алгебраической геометрии (том 2), глава 6, п 1 
      Содержит как строгое решение методами алгебраической геометрии, так и неформальное элементарное решение методом Шаля.
    • S.Kleiman // Chasles's enumerative theory of conics: A historical introduction, Studies in Algebraic Geometry, Mathematical Association of America Studies in Mathematics, 20, Mathematical Association of America, Washington, DC, 1980, 117–138 (имеется электронная версия) 
      Интересный исторический очерк о задаче Шаля и еe влиянии на развитие теории пересечений.
  6. (для 3-4 курсов и магистратуры) Исчисление Шуберта. 
    Сколько прямых в трёхмерном пространстве пересекает четыре данные? Сколько прямых в R4 пересекат 6 данных плоскостей? На эти и многие другие вопросы отвечает исчисление Шуберта. Исчисление Шуберта на грассманниане изучено лучше всего. Следующий по простоте случай  -  двушаговые многообразия флагов. Существует много разных способов вычислять произведения циклов Шуберта на грассманниане (так называемые правила Литтльвуда-Ричардсона). Некоторые из них обобщаются на двушаговые многообразия флагов. Вопрос об универсальном правиле Литтльвуда-Ричардсона для всех многообразий флагов (например, для многообразия полных флагов) пока открыт. В качестве темы предлагается выбрать одно из правил Литтльвуда-Ричардсона (см. ниже), разобрать его и попытаться обобщить. 
    Литература:
    • L. Manivel // Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci. SMF/AMS Texts and Monographs 6, 2001; (имеется неопубликованный русский перевод) 
      Очень хорошо написанная книга о комбинаторике и геометрии многообразий флагов, в частности, в главе 1 - классическое правило Литтльвуда-Ричардсона, в  главе 3 - основы исчисления Шуберта на многообразии полных флагов.
    • Ravi Vakil // A geometric Littlewood--Richardson rule 
      Геометрический способ умножать циклы Шуберта: пересечение многообразий Шуберта последовательно вырождается в объединение многообразий Шуберта. Известно обобщение на двушаговые многообразия флагов, но оно использует очень сложную комбинаторику.
    • Allen Knutson, Terence Tao, Christopher Woodward // The honeycomb model of GL(n) tensor products II: Puzzles determine facets of the Littlewood-Richardson cone 
      Симметричное правило Литтльвуда--Ричардсона через паззлы. В приложении к статье Вакила (см. выше) обсуждается его связь с геометрическим правилом. Недавно было анонсировано обобщение  паззлов на двушаговые многообразия флагов
    • В.А.Кириченко, Е.Ю.Смирнов, В.А.Тиморин Исчисление Шуберта и многогранники Гельфанда-Цетлина 
      Исчисление Шуберта на многообразии полных флагов моделируется через пересечение граней в многогранниках. Тем самым можно пытаться использовать комбинаторику многогранников для построения правила Литтльвуда-Ричардсона на многообразии полных флагов.
  7. (для 3-4 курсов и магистратуры) Многогранники Гельфанда--Цетлина
    Многогранники Гельфанда--Цетлина впервые появились в теории представлений, затем использовались в алгебраической геометрии. Их можно определить элементарно с помощью простых неравенств. Про их комбинаторику почти ничего неизвестно. Напиример, число вершин вычислено только в самых простых случаях. 
    Литература:
    • Pavel Gusev, Valentina Kiritchenko, Vladlen Timorin // Number of vertices in Gelfand-Zetlin polytopes 
      Посчитано число вершин в частных случаях, найдено уравнение на производящую функцию числа вершин в общем случае. Сформулированы открытые задачи.