• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2021/2022

Математический анализ

Язык: русский
Кредиты: 11

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящен основам классического математического анализа (вещественные числа, множества вещественных чисел, последовательности и их пределы, функции вещественного переменного, пределы, производные, графики, формула Тейлора, функции нескольких переменных, дифференциалы отображений, числовые, степенные и функциональные ряды, интегралы и приложения интегрального исчисления, теорема о неявной функции и ее приложения, условный экстремум функций многих переменных).
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Изучение теоретических основ математического анализа, необходимых для дальнейшего продвижения во всех аналитических дисциплинах в процессе обучения на факультете.
  • Приобретение необходимых навыков для решения вычислительных задач.
Планируемые результаты обучения

Планируемые результаты обучения

  • Доказательство теоремы о неявной функции. Теорема об обратном отображении.
  • Знание двух методов суммирования расходящихся рядов: по Абелю и по Пуассону.
  • Знание леммы Адамара и леммы Морса.
  • Знание определений (частные производные, градиент, якобиан, производная по направлению) и простейших свойств.
  • Знание определений и простых основных формул. Умение использовать при решении задач.
  • Знание определения производной и дифференциала. Знание теорем о производной сложной функции и о производной обратной функции.
  • Знание основных теорем дифференциального исчисления: теорем Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Умение использовать их при решении задач.
  • Знание строгого определения и свойств элементарных функций. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
  • Знание теорем о приведении диффеоморфизма к каноническому виду и о разложении в произведение простейших и их доказательств.
  • Знание условий сходимости двойных рядов и условий возможности перестановки сумм в повторных рядах.
  • Знание формулировки и доказательства одномерной теоремы о неявной функции.
  • Знание формулировок теорем о среднем для функций многих переменных и умение их применять при решении задач.
  • Знание, что такое определенный интеграл и когда он определен. Критерии интегрируемости.
  • Знание, что такое поверхность в конечномерном пространстве. Умение находить условный экстремум методом множителей Лагранжа.
  • Знать доказательство принципа сжимающих отображений, в том числе его параметрического варианта.
  • Исследование степенных рядов на сходимость и равномерную сходимость. Умение вычислять радиус сходимости.
  • Исследование функциональных рядов на сходимость и равномерную сходимость.
  • Исследование числовых и функциональных рядов на сходимость и равномерную сходимость.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знакомство с понятием компактности. Компактность множеств на числовой прямой.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание глобальных свойств функций, непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Знание свойств монотонных функций и непрерывных на отрезке. Умение использовать эти свойства при решении задач и доказательстве теорем.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение использовать признаки сходимости положительных рядов.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить пределы последовательностей.
  • Освоение студентами теоретической части содержания учебной дисциплины. Умение проводить строгие математические доказательства теорем курса, в том числе с использованием результатов теоретической части. Умение находить простейшие пределы функций.
  • Построение графиков функций и кривых на плоскости, в том числе заданных параметрически и неявно.
  • Разложение функций по формуле Тейлора, знание стандартных разложений.
  • Свободное решение задач на нахождение пределов, производных, нахождения экстремумов, монотонности и выпуклости функций.
  • Умение вычислять длину кривой, заданной параметрически.
  • Умение вычислять производные высших порядков по формуле Лейбница.
  • Умение доказывать сходимость и расходимость несобственных интегралов.
  • Умение использовать теоремы о среднем для интеграла Римана.
  • Умение исследовать интегралы, зависящие от параметров.
  • Умение находить интерполяционные многочлены Лагранжа и Эрмита.
  • Умение находить критические точки и локальные экстремумы.
  • Умение находить локальные максимумы функций одного переменного.
  • Умение находить первообразные от стандартных функций.
  • Умение разлагать функцию многих переменных по формуле Тейлора.
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Вещественные числа. Свойства подмножеств $\R$.
  • Предел последовательности. Подпоследовательности. Фундаментальные последовательности, критерий Коши. Монотонные последовательности.
  • Числовые ряды. Признаки сходимости рядов с положительными членами.
  • Компактность и секвенциальная компактность.
  • Предел функции. Непрерывные функции. Разрывы, классификация точек разрыва. Локальные свойства непрерывных функций.
  • Глобальные свойства непрерывных функций.
  • Монотонные функции.
  • Элементарные функции. Определения и свойства.
  • Производные. Дифференциал. Производная сложной функции, производная обратной функции.
  • Основные теоремы дифференциального исчисления.
  • Производные высших порядков. Формула Лейбница.
  • Формула Тейлора. Формулы для остаточного члена. Ряд Тейлора.
  • Выпуклые функции и их свойства.
  • Локальный экстремум.
  • Исследование графиков функций.
  • Неопределённый интеграл.
  • Функции многих переменных. Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцирование композиции отображений.
  • Неявная функция простейший случай.
  • Знакопеременные ряды. Произведение рядов.
  • Равномерная сходимость. Теорема Дини. Теорема о перестановке ряда и предела.
  • Степенные ряды.
  • Суммирование расходящихся рядов.
  • Двойные ряды. Бесконечные произведения. Формула для разложения синуса.
  • Интеграл Римана. Критерий интегрируемости Лебега. Интеграл, как функция верхнего предела.
  • Теоремы о среднем для интеграла Римана.
  • Длина кривой. Ориентация на гладкой кривой.
  • Несобственные интегралы.
  • Задача об интерполяции.
  • Собственные и несобственные интегралы, зависящие от параметра. Перестановка интегралов, дифференцирование.
  • Гамма-функция. Бета-функция. Формула Стирлинга.
  • Дифференцируемость отображений из $\R^{m}$ в $\R^{n}$. Теоремы о среднем (для функций и для отображений).
  • Принцип сжимающих отображений.
  • Теорема о неявной функции.
  • Формула Тейлора для функций многих переменных.
  • Локальный экстремум. Критические точки.
  • Диффеоморфизмы. Приведение к каноническому виду, теорема о ранге. Разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
  • Лемма Морса.
  • Поверхность, задача об условном экстремуме. Метод множителей Лагранжа.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий Коллоквиум 1 семестр
  • неблокирующий Коллоквиум 2 семестр
  • неблокирующий Экзамен за 1 семестр
  • неблокирующий Экзамен 2 семестра
  • неблокирующий листки (1 семестр)
    Сданные "лишние" задачи не пропадают, а будут потом учтены при округлении результирующей оценки за семестр.
  • неблокирующий листки (2 семестр)
    Сданные "лишние" задачи не пропадают, а конвертируются в бонусные баллы, которые прибавляются к итоговой оценке с тем же весом (как если бы средняя за листки могла быть больше 10).
  • неблокирующий работа на семинарах
  • неблокирующий контрольные работы
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2021/2022 учебный год 1 модуль
  • 2021/2022 учебный год 2 модуль
    Оценка за семестр является средневзвешенной оценкой за экзамен (0.25), коллоквиум (0.25), участие в семинарах (0.3) и оценкой за листки (0.2); в скобках указаны веса компонентов. округление оценки за семестр в сторону ближайшего целого числа, n + 0.5 округляется до n+1.
  • 2021/2022 учебный год 3 модуль
  • 2021/2022 учебный год 4 модуль
    Оценка за семестр вычисляется как сумма оценок за экзамен (0.25), коллоквиум (0.25), участие в семинарах (0.1), три контрольных работы (по 0.1) и оценки за листки (0.2) с указанными в скобках весами. Оценка округляется в сторону ближайшего целого числа, n + 0.5 округляется до n+1. Если полученная по этому правилу оценка больше 10, ставится 10.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Математический анализ. Т. 1: ., Зорич, В. А., 2015