• A
  • A
  • A
  • АБB
  • АБB
  • АБB
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта
Бакалавриат 2021/2022

Введение в топологию

Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)
Направление: 01.03.01. Математика
Когда читается: 1-й курс, 2, 3 модуль
Формат изучения: без онлайн-курса
Охват аудитории: для своего кампуса
Преподаватели: Горденко Анна Станиславовна, Дунин-Барковский Петр Игоревич, Ященко Иван Валериевич
Язык: русский
Кредиты: 8

Программа дисциплины

Аннотация

Дисциплина для 1 курса ОП бакалавриата "Математика" и "Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ". Курс подготовлен при участии МЦНМО, факультета математики НИУ ВШЭ и НТУ “Сириус”. Пререквизиты: к началу курса (2 модуль) необходимо владеть языком «наивной» теории множеств и элементарными понятиями анализа (действительные числа, предел последовательности действительных чисел, непрерывная функция на действительной прямой). К началу февраля желательно знать основные понятия теории групп (группа, гомоморфизм групп, смежные классы, действие группы на множестве). Кроме традиционных семинаров (очных или онлайн) и доп. лекций/консультаций, существенная часть нашего курса проходит онлайн, в системе Сириус.Курсы. Курс в системе состоит из учебных модулей. Основная часть модуля рассчитана примерно на неделю. Внутри модуля — видеофрагменты с теорией, упражнения (с автоматической проверкой) на ее понимание, задачи (про них полезно подумать самостоятельно, а узнать решения можно на семинаре или [позже] в системе). Все это — учебные вещи, к ним можно возвращаться в течение курса, нужно только закрыть все [обязательные] модули (обычно это обозначает выполнение 70% заданий в модуле) к концу курса. А те, кто будут закрывать модуль до соответствующего ему семинара, получат дополнительный балл к итоговой оценке. Помимо обязательных модулей, в курсе будут модули необязательные (обозначенные звёздочкой). Студентам ОП "Совместный бакалавриат ВШЭ и ЦПМ" рекомендуется изучить модуль “Фундаментальная группа” и ещё один на выбор.
Цель освоения дисциплины

Цель освоения дисциплины

  • Знакомство с основными понятиями и результатами общей топологии и некоторыми разделами алгебраической топологии (фундаментальная группа и теория накрытий).
Содержание учебной дисциплины

Содержание учебной дисциплины

  • Введение: наглядная топология; примеры топологических пространств и топологических теорем.
  • Топология прямой: открытые и замкнутые множества, теорема Бэра и точки разрыва производной*.
  • Метрические пространства: примеры, изометрия и гомеоморфизм, пространство Урысона*.
  • Топологические инварианты: линейная связность, теорема о промежуточном значении и связность, доказательства негомеоморфности.
  • Полнота и ее применения: сжимающие отображения и применение к существованию решений уравнений, продолжение функций на пополнение*.
  • Компактность: эквивалентные определения, связи с анализом, теорема Стоуна–Вейерштрасса*, теорема Брауэра и лемма Шпернера*.
  • Топологические пространства: определения, примеры, свойства отделимости.
  • Размерность*: разные определения.
  • Топологические пространства: напоминание. Одноточечная компактификация*. Теорема Тихонова*.
  • Фактортопология (склейка).
  • Двумерные поверхности. Эйлерова характеристика. Классификация поверхностей.
  • Кривые. Гомотопии кривых и отображений.
  • Степень отображения окружности в себя. Применения: основная теорема алгебры и теорема Брауэра.
  • Векторные поля на плоскости и на поверхностях*.
  • Фундаментальная группа (обзор)*.
Элементы контроля

Элементы контроля

  • неблокирующий работа в системе
    Задачный практикум: каждую субботу появляются задачи для письменного решения; присланные решения проверяются и комментируются, дальше их можно дорабатывать. Каждую задачу можно сдавать в течение 2 недель; в спорных случаях ассистент может пригласить вас обсудить задачу устно на “мигающем” семинаре.
  • неблокирующий усреднённая оценка за контрольные работы на семинарах
  • блокирующий итоговый экзамен
  • неблокирующий midterm
  • неблокирующий бонус за своевременное выполнение заданий в системе
Промежуточная аттестация

Промежуточная аттестация

  • 2021/2022 учебный год 3 модуль
    X = 0.3S + 0.25T + 0.25M + 0.3F + I, где S — оценка за работу в системе, T — усреднённая оценка за контрольные на семинарах, M — оценка за midterm, F — оценка за итоговый экзамен, I — бонус за своевременное выполнение заданий в системе.
Список литературы

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

  • Виро О.Я., Иванов О.А., Нецветаев Н.Ю. - Элементарная топология - Московский центр непрерывного математического образования - 2010 - ISBN: 978-5-94057-587-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9313
  • Прасолов В.В. - Наглядная топология - Московский центр непрерывного математического образования - 2014 - ISBN: 978-5-4439-2055-9 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56410

Рекомендуемая дополнительная литература

  • Прасолов В.В. - Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии - Московский центр непрерывного математического образования - 2004 - ISBN: 5-94057-072-0 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9395