Введение в топологию

Бакалавриат 2021/2022

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Курс обязательный (Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ)

Направление: 01.03.01. Математика

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 1-й курс, 2, 3 модуль

Формат изучения: без онлайн-курса

Охват аудитории: для своего кампуса

Преподаватели: Горденко Анна Станиславовна, Дунин-Барковский Петр Игоревич, Ященко Иван Валериевич

Язык: русский

Кредиты: 8

Контактные часы: 114

Полная версия программы учебной дисциплины Задать вопрос

Аннотация

Дисциплина для 1 курса ОП бакалавриата "Математика" и "Совместный бакалавриат НИУ ВШЭ и ЦПМ". Курс подготовлен при участии МЦНМО, факультета математики НИУ ВШЭ и НТУ “Сириус”. Пререквизиты: к началу курса (2 модуль) необходимо владеть языком «наивной» теории множеств и элементарными понятиями анализа (действительные числа, предел последовательности действительных чисел, непрерывная функция на действительной прямой). К началу февраля желательно знать основные понятия теории групп (группа, гомоморфизм групп, смежные классы, действие группы на множестве). Кроме традиционных семинаров (очных или онлайн) и доп. лекций/консультаций, существенная часть нашего курса проходит онлайн, в системе Сириус.Курсы. Курс в системе состоит из учебных модулей. Основная часть модуля рассчитана примерно на неделю. Внутри модуля — видеофрагменты с теорией, упражнения (с автоматической проверкой) на ее понимание, задачи (про них полезно подумать самостоятельно, а узнать решения можно на семинаре или [позже] в системе). Все это — учебные вещи, к ним можно возвращаться в течение курса, нужно только закрыть все [обязательные] модули (обычно это обозначает выполнение 70% заданий в модуле) к концу курса. А те, кто будут закрывать модуль до соответствующего ему семинара, получат дополнительный балл к итоговой оценке. Помимо обязательных модулей, в курсе будут модули необязательные (обозначенные звёздочкой). Студентам ОП "Совместный бакалавриат ВШЭ и ЦПМ" рекомендуется изучить модуль “Фундаментальная группа” и ещё один на выбор.

Цель освоения дисциплины

Знакомство с основными понятиями и результатами общей топологии и некоторыми разделами алгебраической топологии (фундаментальная группа и теория накрытий).

Содержание учебной дисциплины

Введение: наглядная топология; примеры топологических пространств и топологических теорем.
Топология прямой: открытые и замкнутые множества, теорема Бэра и точки разрыва производной*.
Метрические пространства: примеры, изометрия и гомеоморфизм, пространство Урысона*.
Топологические инварианты: линейная связность, теорема о промежуточном значении и связность, доказательства негомеоморфности.
Полнота и ее применения: сжимающие отображения и применение к существованию решений уравнений, продолжение функций на пополнение*.
Компактность: эквивалентные определения, связи с анализом, теорема Стоуна–Вейерштрасса*, теорема Брауэра и лемма Шпернера*.
Топологические пространства: определения, примеры, свойства отделимости.
Размерность*: разные определения.
Топологические пространства: напоминание. Одноточечная компактификация*. Теорема Тихонова*.
Фактортопология (склейка).
Двумерные поверхности. Эйлерова характеристика. Классификация поверхностей.
Кривые. Гомотопии кривых и отображений.
Степень отображения окружности в себя. Применения: основная теорема алгебры и теорема Брауэра.
Векторные поля на плоскости и на поверхностях*.
Фундаментальная группа (обзор)*.

Элементы контроля

работа в системе
Задачный практикум: каждую субботу появляются задачи для письменного решения; присланные решения проверяются и комментируются, дальше их можно дорабатывать. Каждую задачу можно сдавать в течение 2 недель; в спорных случаях ассистент может пригласить вас обсудить задачу устно на “мигающем” семинаре.
усреднённая оценка за контрольные работы на семинарах
итоговый экзамен
midterm
бонус за своевременное выполнение заданий в системе

Промежуточная аттестация

2021/2022 учебный год 3 модуль
X = 0.3S + 0.25T + 0.25M + 0.3F + I, где S — оценка за работу в системе, T — усреднённая оценка за контрольные на семинарах, M — оценка за midterm, F — оценка за итоговый экзамен, I — бонус за своевременное выполнение заданий в системе.

Список литературы

Авторы

Горденко Анна Станиславовна
Ященко Иван Валериевич

Программа дисциплины