2020/2021

Научно-исследовательский семинар "Числа Гурвица"

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Преподаватели: Амбург Наталья Яковлевна, Бычков Борис Сергеевич

Язык: русский

Кредиты: 3

Контактные часы: 36

Программа дисциплины

Аннотация

Курс посвящен различным аспектам чисел Гурвица, обобщающих задачу о перечислении детских рисунков Гротендика. Мы начнём с их оригинального, восходящего к А. Гурвицу (1859 – 1919) определения, как числа представлений перестановки в виде произведения транспозиций. Несмотря на простоту определения, числа Гурвица лежат на стыке огромного количества областей современной математики и математической физики, с некоторыми из которых мы познакомимся на курсе. Во-первых, на геометрическом языке числа Гурвица можно определить как число разветвленных накрытий сферы. Во-вторых, всякую задачу о перечислении объектов правильно решать на языке производящих функций — им будет посвящена изрядная часть курса. В-третьих и четвертых, если позволит время и силы, мы посмотрим на числа Гурвица с точки зрения алгебры (групповой алгебры симметрической группы) и комплексного анализа. Курс является естественным продолжением курса осеннего семестра «Графы на поверхностях», однако может быть взят и независимо.

Цель освоения дисциплины

• Знакомство с некоторыми перечислительными задачами комбинаторики, алгебры и разветвленных накрытий. Изучение чисел Гурвица с точки зрения алгебры, теории разветвленных накрытий и интегрируемых иерархий

Планируемые результаты обучения

• Знакомство с т. Кэли и задачами перечислительной комбинаторики
• Знакомство с числами Гурвица, знакомство с примерами вычислений чисел Гурвица
• Знакомство с формулой Харера-Загира
• Знакомство с уравнением транспозиции и умение применять его для вычисления чисел Гурвица
• Знакомство с эквивалентным определением чисел Гурвица
• Знакомство с групповой алгеброй симметрической группы и элементами теории представлений
• Знакомство с симметрическими функциями, многочленами Шура и элементами Юциса-Мерфи

Содержание учебной дисциплины

• Перечисление помеченных деревьев
  Теорема Кэли о числе помеченных деревьев на n вершинах
• Простые числа Гурвица
  Разложение перестановки в произведение перестановок, определение простых чисел Гурвица. Примеры. Вычисление с помощью ориентированного графа. Тропическое вычисление чисел Гурвица.
• Перечисление склеек 2n-угольников
  Перечисление склеек 2n-угольников, формула Харера-Загира
• Уравнение транспозиции
• Разветвленные накрытия. Формула Римана-Гурвица.
• Групповая алгебра симметрической группы
  Числа Гурвица как собственные числа диагонализуемых операторов
• Многочлены Шура, элементы Юциса-Мерфи

Элементы контроля

• Домашняя контрольная работа 1
• Домашняя контрольная работа 2

Промежуточная аттестация

• Промежуточная аттестация (4 модуль)
  0.5 * Домашняя контрольная работа 1 + 0.5 * Домашняя контрольная работа 2

Список литературы

Рекомендуемая основная литература

• Введение в дискретную математику, Ландо, С. К., 2012
• Звонкин А.К., Ландо С.К. - Графы на поверхностях и их приложения - Московский центр непрерывного математического образования - 2010 - 480с. - ISBN: 978-5-94057-588-7 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/9342
• Ландо С.К. - Введение в дискретную математику - Московский центр непрерывного математического образования - 2012 - 264с. - ISBN: 978-5-4439-2019-1 - Текст электронный // ЭБС ЛАНЬ - URL: https://e.lanbook.com/book/56405

Рекомендуемая дополнительная литература

• Лекции о производящих функциях, Ландо, С. К., 2007