Основы теории систем и систем управления

2022/2023

Лучший по критерию «Полезность курса для расширения кругозора и разностороннего развития»

Лучший по критерию «Новизна полученных знаний»

Статус: Майнор

Кто читает: Департамент прикладной математики

Где читается: Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Когда читается: 1, 2 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Преснова Анна Павловна

Язык: русский

Кредиты: 5

Контактные часы: 32

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Данный раздел предназначен для формирования знаний, умений и навыков в области моделирования медико-биологических систем, в том числе систем с управлением. Построение моделей и оптимизация - основные направления междисциплинарных работ, дающие возможность надежного описания систем и процессов в медицине. Рассматриваются основы построения и исследования моделей систем, а также математические методы построения систем управления объектами и процессами на примерах из биологии и медицины. Математическое моделирование процессов и объектов проводится в пакете MATLAB Simulink.

Цель освоения дисциплины

Формирование знаний, умений и навыков в области моделирования медико-биологических систем, в том числе систем с управлением

Планируемые результаты обучения

Дифференциальное уравнение первого порядка. Фазовое пространство. Фазовые переменные. Стационарное состояние. Устойчивость стационарного состояния по Ляпунову. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Аналитический метод определения устойчивости. Графический метод определения устойчивости.
Использование пакета MATLAB Simulink. Анализ динамики переменных в модели развития рака и сахарного диабета, модели иммунной системы человека при ВИЧ. Эпидемиологические модели.
Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Исследование нелинейных систем второго порядка. Модель Лотки. Модель Вольтерра.
Мультистационарные системы. Триггер. Силовое и параметрическое переключение триггера. Конкуренция. Отбор одного из двух равноправных видов.
Непрерывные и дискретные модели роста популяций, описываемые одним уравнением. Уравнение Ферхюльста. Модель Мальтуса. Непрерывная модель логистического роста. Модель с нижней критической границей численности популяции. Дискретная модель логистического роста. Использование пакета MATLAB Simulink для визуализации динамики моделей. Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями. Дискретное логистическое уравнение. Бифуркация удвоения периода. Хаос. Лестница Ламерея.
Основные понятия теории динамических систем. Предельные множества. Пространственно-временные агентные модели взаимодействия видов.
Понятие автоколебаний. Предельные циклы. Рождение предельного цикла. Бифуркация Андронова-Хопфа. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний.
Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния. Устойчивость по Ляпунову. Характеристическое уравнение. Собственные числа. Собственные вектора. Метод изоклин. Типы особых точек. Бифуркационная диаграмма.

Содержание учебной дисциплины

Введение. Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка.
Модели роста популяций.
Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.
Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка.
Мультистационарные системы.
Колебания в биологических системах.
Динамический хаос. Модели биологических сообществ. Модели взаимодействия видов.
Математическое моделирование в медицине.

Элементы контроля

Домашнее задание
Домашнее задание выдается индивидуально или группе студентов (2-3 чел.). С целью текущего контроля успеваемости предусмотрена защита домашнего задания.
Экзамен
Контрольная работа

Промежуточная аттестация

2022/2023 учебный год 2 модуль
0.25 * Контрольная работа + 0.25 * Домашнее задание + 0.5 * Экзамен

Программа дисциплины