Математический анализ III: основы функционального анализа

2022/2023

Статус: Общеуниверситетский факультатив

Кто читает: Департамент математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех

Преподаватели: Рунев Евгений Валентинович

Язык: русский

Кредиты: 6

Контактные часы: 128

Полная версия программы учебной дисциплины

Аннотация

Целью освоения дисциплины «Математический анализ III (основы функционального анализа» является изучение разделов «Теория сжимающих операторов» и «Теория рядов Фурье в гильбертовом пространстве», позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Основы вариационного исчисления», «Теория случайных процессов и временные ряды». Курс "Математический анализ III (основы функционального анализа" будет использоваться в теории и приложениях дисциплин физико-математического и экономического циклов. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей в различных предметных областях, в первую очередь в физике, экономике, численном моделировании. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами различных направлений подготовки математической компоненты своего профессионального образования.

Цель освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины являются изучение разделов «Теория сжимающих операторов», «Теория рядов Фурье в гильбертовом пространстве» и «Теория линейных операторов».

Планируемые результаты обучения

Знать основные понятия, теоремы и методы теории сжимающих операторов, применять принцип сжимающих отображений и метод простых итераций для приближенного решения уравнений разного типа: числовых уравнений, систем линейных алгебраических уравнений, функциональных нелинейных уравнений общего вида, интегральных уравнения Фредгольма и Вольтерра.
Знать основные понятия, теоремы и методы теории рядов Фурье в гильбертовом пространстве, умение работать с ортогональными системами: тригонометрических, полиномиальных, систем ступенчатых функций. Находить связи ряда Фурье с задачами аппроксимации и пояснением таких существенных особенностей, как характер сходимости ряда Фурье, специфика тригонометрической и полиномиальной аппроксимации, различия между рядами Фурье и Тейлора.
Знать основные понятия, теоремы теории операторов, уметь находить решение уравнения в виде ряда Фурье по собственным функциям оператора, уметь решать интегральное уравнение методом замены ядра на вырожденное, минимизировать функционал методом Ритца.

Содержание учебной дисциплины

Теория сжимающих операторов
Теория рядов Фурье в гильбертовом пространстве
Теория линейных операторов

Элементы контроля

Контрольная работа 1
При выполнении контрольных работ студент должен продемонстрировать знание теории сжимающих операторов, применять принцип сжимающих отображений и метод простых итераций для приближенного решения уравнений разного типа: числовых уравнений, систем линейных алгебраических уравнений, функциональных нелинейных уравнений общего вида, интегральных уравнения Фредгольма и Вольтерра, уметь применять их для решения конкретных задач.
Контрольная работа 2
При выполнении контрольных работ студент должен продемонстрировать знание теорем и методов теории рядов Фурье в гильбертовом пространстве, умение работать с ортогональными системами: тригонометрических, полиномиальных, систем ступенчатых функций. Находить связи ряда Фурье с задачами аппроксимации и пояснением таких существенных особенностей, как характер сходимости ряда Фурье, различия между рядами Фурье и Тейлора, уметь находить решение уравнения в виде ряда Фурье по собственным функциям оператора, решение интегрального уравнения методом замены ядра на вырожденное. Уметь приближенно минимизировать функционалы методом Ритца, уметь применять указанные методы для решения конкретных задач.
Экзамен
90 минут, письменная работа. На промежуточном/итоговом контроле в письменной экзаменационной работе студент должен продемонстрировать знание основных теоретических положений дисциплины (определения, формулировки теорем, свойства математических объектов) и математического инструментария дисциплины, умение формулировать и доказывать теоремы, выбирать метод решения и решать конкретные задачи на применение этих методов. Экзамен проводится в письменной форме. Экзамен проводится на платформе Smart LMS синхронизацией с конференцией в ZOOM. К экзамену (конференции Zoom и вход в аккаунт платформы Smart LMS) необходимо подключиться за 10 минут до начала экзамена и проверить работу всех устройств и ПО. Компьютер и рабочее место студента должен удовлетворять следующим требованиям: наличие камеры, звука, скоростного интернета. Подробная процедура проведения экзамена и других письменных контрольных мероприятий изложена инструкции, размещенной в Smart LMS, с которой студенты обязаны ознакомиться заблаговременно. Кратковременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи не более чем на 2 минуты. Долговременным нарушением связи во время экзамена считается нарушение связи на более, чем 2 минуты. При долговременном нарушении связи студент не может продолжить участие в экзамене. Уважительную причину нарушения связи студент должен подтвердить справкой от провайдера (или иных служб обеспечения связи), направив ее преподавателю дисциплины с копией в учебный офис.

Промежуточная аттестация

2022/2023 учебный год 4 модуль
0.26 * Контрольная работа 1 + 0.48 * Экзамен + 0.26 * Контрольная работа 2

Программа дисциплины