Квантовая механика

2024/2025

Статус: Дисциплина общефакультетского пула

Кто читает: Факультет математики

Где читается: Факультет математики

Когда читается: 3, 4 модуль

Охват аудитории: для всех кампусов НИУ ВШЭ

Преподаватели: Семенов Андрей Георгиевич

Язык: русский

Кредиты: 6

Дополнительные материалы в LMS Задать вопрос

Аннотация

Настоящая дисциплина относится к циклу общие профессиональные дисциплины и блоку основных дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра. Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах: • базовые курсы алгебры и математического анализа (1 и 2 годы бакалавриата); • курс динамических систем (2 год бакалавриата); • курс гамильтоновых и интегрируемых систем (I-II модули, 3 год бакалавриата); • курс уравнений в частных производных (III-IV модули, 3 год бакалавриата); Желательно, но не необходимо также знакомство с некоторыми основными понятиями и результатами из курсов • теории функций комплексного переменного (III-IV модули, 2 год бакалавриата); • теории вероятностей (3 год бакалавриата); • функционального анализа (3 год бакалавриата); • групп и алгебр Ли (III-IV модули, 3 год бакалавриата). Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при обучении магистрантов (в первую очередь, по направлению “Математическая физика”) при изучении следующих дисциплин: • Дополнительные главы математической физики (1 и 2 курс магистратуры); Спецкурс по теории представлений алгебры Вирасоро и конформной теории поля

Цель освоения дисциплины

Получение представления о взаимоотношении механик классической и квантовой.
Получение представлений об основных принципах, структурах, и задачах квантовой механики.
Получение сведений об важнейших физических квантово-механических моделях.
Получение представления о современных математических структурах методах исследования квантово-механических систем.
Развитие квантово-механической интуиции, то есть навыков формулировки задач, построения и исследования теоретико-физических моделей квантовой механики.

Планируемые результаты обучения

Владеет математическим аппаратом квантовой механики, включая базовые понятия и технику теории обобщенных функций, гильбертовых пространств, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений в частных производных, теории возмущений, теории представлений и функционального интегрирования.
Владеет математическим аппаратом квантовой механики, включая базовые понятия и технику теории обобщенных функций, гильбертовых пространств, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений в частных производных. Умеет строить собственные функции гамильтониана атома водорода в сферических координатах.
Владеет навыками самостоятельного квантования простых моделей нерелятивистской классической механики.
Владеет навыками самостоятельного квантования простых моделей нерелятивистской классической механики.
Имеет представление о физических основаниях квантовой механики, понимает взаимоотношения квантовой механики с классическими механикой и теорией поля.
Понимает статистический смысл основных операций и объектов пространства состояний: скалярных произведений, спектра наблюдаемых и т.п. Умеет находить распределения вероятностей измерений различных наблюдаемых в простых моделях и рассчитывать эволюцию состояния.
Умеет находить вероятности перехода из заданного начального состояния системы в конечное в процессе измерения полного набора наблюдаемых.
Умеет решать задачи о вычислении, точном и в низших порядках по теории возмущений, физических характеристик (спектра, средних значений и дисперсий наблюдаемых) и о расчете эволюции для базовых моделей нерелятивистской квантовой механики (гармонический осциллятор, одномерные квантовые системы, атом водорода, теория момента и спина и др.).
Умеет строить конечномерные унитарные представления алгебры Ли su(2), находить спектр оператора квадрата углового момента и компонент углового момента.
Умеет строить обобщенные собственные векторы, отвечающие непрерывному спектру операторов координаты и импульса, вычислять плотность амплитуды вероятности распределения координаты и значений импульса в чистых состояниях квантовой системы. Умеет находить спектр связанных состояний в одномерной потенциальной яме.
Умеет строить представления симметрической группы, отвечающие различным диаграммам Юнга, находит состояния системы тождественных частиц с заданными свойствами.
Умеет строить пространство состояний гармонического осциллятора, находить его спектр и собственные вектора.

Содержание учебной дисциплины

Недостаточность классического описания явлений микромира
Основные постулаты канонического (операторного) квантования.
Квантование гармонического осциллятора
Оснащенное гильбертово пространство, свободная частица, общие свойства одномерного движения.
Полный набор наблюдаемых и проблема измерения
Трехмерное движение в центральном поле
Общая теория углового момента
Симметрии квантовых систем и законы сохранения
Квантование момента импульса. Спин электрона.
Трехмерные модели квантовой механики. Движение в центрально-симметричном потенциале. Атом водорода.
Стационарная теория возмущений. Эффекты Штарка и Зеемана.
Квантовая теория тождественных частиц.
Релятивистская квантовая механика, уравнения Клейна-Гордона и Дирака. Позитрон.
Квантовая механика в формализме функционального интегрирования.
Интегрируемые модели квантовой механики.

Элементы контроля

ДЗ
Экзамен

Промежуточная аттестация

2024/2025 4th module
Итоговая оценка равна 0.7𝐻+0.3𝐸, где 𝐻 - средняя оценка по всем домашним контрольным в семестре, а 𝐸 - оценка за экзамен. Округление в меньшую сторону, но на экзамене есть возможность для повышения оценки путём обсуждения и решения задач.

Список литературы

Авторы

Семенов Андрей Георгиевич
Смольникова Татьяна Анатольевна
Иконописцева Юлия Вахтанговна
Лосяков Владимир Владимирович

Программа дисциплины