Математика и ее приложения для преподавателей старших классов

Программа обучения

• Аннотация курса

  «Наука должна быть веселая, увлекательная и простая»

  Петр Леонидович Капица

  Алгебраические уравнения встречаются на каждом шагу. Примеров рассмотрим много. Но не каждое такое уравнение имеет вещественное решение, например, x² + 1=0. А вот комплексных решений у уравнения P_n(x)=0 c учетом их возможной кратности существует ровно n, где n — степень уравнения. Это утверждает Основная теорема алгебры. Если n ≤ 4, то корни находятся по известным формулам, которые используют четыре арифметических действия и извлечение корней. Для уравнений более высокой степени такой общей формулы не существует и не может существовать, — это следует из теории Эвариста Галуа.

  Зато можно эти корни найти с любой точностью на компьютере, — постепенно к ним приближаясь. Простейший вариант — решение квадратного уравнения методом Герона Александрийского (метод, кстати, старше самого Герона не менее, чем на пять веков — спасибо раскопкам на территории Ассирии — нашли таки глиняные таблички с описанием алгоритма).

  Алгебраическими уравнениями дело не ограничится, будем решать методом Ньютона уравнения более общего вида — уметь бы вычислять функцию и ее первую производную, а остальное быстро сделает компьютер.

  Если начать приближаться к искомому решению с небольшого расстояния, то очень быстро погрешность станет исключительно маленькой. А вот если издалека — тут возможны различные эффекты. Например, исключительной красоты фракталы — на компьютере их получим сами.

  Затем научимся решать и системы уравнений с несколькими неизвестными. Для этого потребуются матрицы Якоби. Нужно будет находить решения уравнений и систем, зависящие от параметров.

  Мы изучим методы интерполяции — как по значениям функции в дискретные моменты времени приближенно оценить ее значения в промежуточные моменты. Если сами эти значения известны с некоторой погрешностью (шумом), то к какой погрешности это приведет у проинтерполированной функции (иногда такие последствия бывают катастрофическими). Сплайны оказываются намного «устойчивее» к шумам, чем многочлены.

  Мы рассмотрим различные динамические системы, которые изменяются «по шагам», т.е. с дискретным временем. Размножение популяций с учетом специфики рождаемости и смертности для возрастов. Конечно-разностные уравнения позволяют производить оценки и расчеты. А заодно можно оценивать результаты случайных блужданий по сеткам и решеткам или вероятности выигрыша в игре с постоянной суммой.

  Помимо решения уравнений матанализ помогает находить экстремумы функций, в том числе и зависящих от многих переменных. Мы выясним, какие бывают «типичные» минимумы и максимумы, что значит «типичный», и насколько редко встречаются нетипичные. И как искать экстремум не среди всех значений параметров, а только среди тех, которые удовлетворяют дополнительным условиям — метод множителей Лагранжа весьма эффективен.

  А что можно сказать о функции, если известны ее несколько производных в одной точке? Ряд Тейлора иногда весьма хорош, но он имеет некоторые препятствия к сходимости в больших областях. А вот рациональные аппроксимации, придуманные Эрмитом и Паде в конце XIXв часто оказываются намного эффективнее, причем в самых неожиданных приложениях.

  Расстояния между числами и векторами мы умеем вычислять — теорема Пифагора помогает. Причем не только в , но и в пространствах большой или даже бесконечной размерности. Оказывается, такие объекты очень полезны и для обработки больших массивов информации, и для изучения процессов в сложных системах. Мы рассмотрим весьма общие объекты, между которыми можно и полезно вычислять расстояние. Например, расстояние между словами, между кривыми или между функциями.

  Мы обсудим аналитические и приближенные методы вычисления интегралов.

  Важный класс задач: динамические модели: указан закон, по которому со временем меняется исследуемая система. Время может меняться дискретно (тогда соответствующее уравнение или система получается конечно-разностным, как, например, уравнение Фибоначчи) или непрерывно (тогда получаются дифференциальные уравнения и системы, например, уравнение колебаний маятника). Иногда можно точно предсказать, в какой точке будет находиться маятник в интересующий нас момент времени. Иногда достаточно определить период колебаний. А иногда (если маятник с трением) нужно оценить скорость затухания этих колебаний. И системы эти могут быть намного сложнее, чем одиночный маятник.

  Еще один класс задач — поиск наилучшего решения, наилучшей кривой, наилучшей стратегии и т. п. Например, какую форму принимает цепь, подвешенная за края (форма обеспечивает минимум потенциальной энергии, но какая это форма?). Как наилучшим образом согласовать независимые замеры скорости и местоположения автомобиля, которые расходятся из-за ошибок измерения?

  И наконец, — как делается в XXI веке прогноз погоды?

• Математическая часть дисциплины

  1. Комплексные числа и их свойства. Основная теорема алгебры. Приложение к тригонометрии. Формулы Региомонтана. Многочлены Чебышёва. Извлечение квадратного корня из вещественных и комплексных чисел итерационным методом Герона. Существование периодических точек и уход решения на бесконечность.
  2. Метод Ньютона для итерационного решения сложных нелинейных уравнений. Стационарные (неподвижные) точки итерационного процесса бывают устойчивые и неустойчивые. Бассейны притяжения стационарных точек. Сверхсходимость метода Ньютона в окрестности корня уравнения. Устойчивость периодических решений. Случай кратных корней — как ускорить процесс вычислений. Бассейны притяжения для решения квадратного уравнения — что происходит на прямой — границе бассейнов притяжения двух корней. Бассейны притяжения для решения кубического уравнения. Невыполненное обещание Кэли. Фракталы. Бифуркации.
  3. Функции нескольких переменных. Матрица Якоби. Экстремумы и стационарные (критические) точки гладких функций нескольких переменных. Матрица Гессе. Для каких функций можно гарантировать ее симметричность.
  4. Теорема о неявной функции.
  5. Условные экстремумы функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа.
  6. Лемма Морса. Примеры вырожденных стационарных точек. Понятие общего положения системы — что в жизни может случиться, а что — нет. Теорема о трансверсальности.
  7. Метод Ньютона — Рафсона для численного решения систем нелинейных уравнений.
  8. Метрические пространства. Примеры. Замкнутые и открытые множества. Замыкание. Пополнение.
  9. Линейные пространства, конечномерные и бесконечномерные. Пространства функций. Нормированные пространства. Гильбертовы пространства. Пространства Соболева.
  10. Базисы в пространстве функций: ряды Фурье и ортогональные полиномы. Собственные функции и собственные числа дифференциальных операторов.
  11. Введение в теорию графов. Задача Эйлера о мостах и ее решение. Зачем это нужно для снегоуборочных машин. Деревья и циклы. Обменные валютные пункты без маржи и система физических единиц — причем тут графы. Подсчет числа независимых циклов.
  12. Динамика численности популяции. Последовательность Фибоначчи. Конечно-разностные уравнения, линейные и нелинейные. Задача Коши. Конечно-разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай кратных корней.
  13. Системы конечно-разностных уравнений. Модель Лесли — динамика численности популяции с учетом различий возрастных групп. Когда численность растет на больших временах.
  14. Простейшие примеры дифференциальных уравнений. Модель Мальтуса. Метод разделения переменных. Логистическая модель. Устойчивая и неустойчивая стационарные точки. Фазовый портрет. Жесткий и мягкий план лова рыбы. С какой силой нужно тянуть за веревку, перекинутую через бревно, чтобы удержать груз.
  15. Линейное однородное уравнение первого порядка. Случай постоянного и переменного коэффициентов. Уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Пространство решений линейного дифференциального уравнения. Характеристическое уравнение. Пружинный маятник. Устойчивость и неустойчивость нулевого решения.
  16. Неоднородные уравнения. Случай специальных правых частей уравнения. Метод Лагранжа вариации постоянных.
  17. Автономные уравнения и системы. Фазовый портрет. Модель «хищники — жертвы». Первый интеграл. Идеальный маятник. Периодические решения. Маятник с трением. Пружинный маятник с трением о стол. Модели химической кинетики. Модель военных действий Ланкастера и ее возможные модификации.
  18. Случайные величины. Простейшие задачи теории вероятностей. Факториал. Бином Хайяма — Ньютона. Плотность вероятности. Задача об игле Бюффона.
  19. Преобразование Фурье и его свойства. Спектры.
  20. Диффузия, теплопроводность, динамика струны. Формула Даламбера.
  21. Задача об игре с постоянной суммой (случайные блуждания на сетке). Вероятность выигрыша. Среднее время игры. Зависимость от размера ставки в одном гейме. Игра с возможностью ничьей. Случай инерции проигрыша. Задача блужданий на решетке и уравнение Лапласа. Марковские цепи.
  22. Как по значениям функции на дискретной сетке точек восстановить ее значения на всем отрезке — задача интерполяции. Интерполяция Лагранжа. Базис в пространстве многочленов заданной степени. Достоинства и недостатки использования многочлена высокого порядка. Константа Лебега.
  23. Сплайны. Кубические сплайны Шонберга дефекта 1 и изгиб балки под действием точечных нагрузок. Необходимость граничных условий для построения интерполяционного сплайна. Сплайн наилучшего приближения. Метод прогонки для трехдиагональной СЛАУ.
  24. Аппроксимация гладкой функции рядом Тейлора. Граница области сходимости ряда Тейлора с центром в нуле для функции. Пример Коши.
  25. Аппроксимация Паде — Эрмита гладкой функции и ее преимущества. Всегда ли она возможна. Формула Перрона. Векторное обобщение рациональной аппроксимации.
  26. Компактные разностные схемы для приближенного вычисления производных от функций, заданных на дискретной сетке. Компактные разностные схемы для приближенного решения дифференциальных уравнений. Метод компактной интерполяции. Компактные разностные схемы на двумерных сетках.
  27. Квадратурные формулы для приближенного вычисления интегралов от функции на отрезке: прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса. Порядок точности квадратурной формулы.
  28. Задачи и идеи вариационного исчисления. Какую форму принимает подвешенная за концы тяжелая цепь. Как царица Дидона основала Карфаген.
  29. Как делается прогноз погоды в XXI веке.

• Программирование на МАТЛАБе

  1. Оргвопросы
  2. Первичная настройка Матлаба
  3. Создание переменных и операции над ними
  4. Вектора и матрицы
  5. Индексация массивов и матриц
  6. Графики многочленов и функций
  7. Визуализация последовательности Фибоначчи (по определению и по формулам)
  8. Написание отдельной функции в Матлаб
  9. Реализация метода Герона
  10. Анализ метода Герона
  1. Траектории последовательности;
  2. Зависимость количества итераций алгоритма от начального приближения.
  11. Графики функций одной переменной на сетке и без
  12. Графики функций двух переменных на сетке и без
  13. Изолинии
  14. Собственные числа и вектора
  15. Модель Лесли — Лефковича
  16. Написание метода Ньютона
  17. Бассейны притяжения для функции с тремя корнями
  18. Обработка ошибок в MATLAB: try catch
  19. Модель фон Берталанфи: построение решения при заданных параметрах и , времени интегрирования и начального условия
  20. Solver обыкновенного дифференциального уравнения ode45, для одного уравнения первого порядка
  21. Логистическая модель: построение множества траекторий при заданном постоянном отлове рыбы
  22. Уравнение маятника. Решение системы диффуров первого порядка с помощью ode45
  23. Анимация движения маятника
  24. Векторные поля и фазовые портреты. Функции streamslice, и quiver
  25. Фазовые портреты системы из двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Примеры устойчивых и неустойчивых стационарных точек
  26. Построение фазового портрета с помощью streamslice
  27. Построение фазового портрета «на бумаге» с помощью собственных чисел и собственных векторов
  28. Случай комплексных собственных чисел. Овеществление базиса
  29. Пример нелинейной системы уравнений с двумя стационарными точками
  30. Линеаризация системы в окрестности стационарной точки
  31. Фазовый портрет для модели войны орд (присутствуют истребление и рождаемость)
  32. Предельный цикл — фазовый портрет
  33. Предельный цикл — исследование на сжатие или растяжение с помощью сечения Пуанкаре
  34. Исследование качества численного метода на примере системы уравнений Лотки — Вольтерры
  35. Изменение первого интеграла системы со временем для численного решения: колебания/рост/убывание по сравнению с точным значением
  36. Нормы функции: максимум модуля разности и норма
  37. Изменение нормы разности теоретического и экспериментального первого интеграла системы в зависимости от разных шагов по времени
  38. Анализ нелинейной системы 3D
  39. Визуализация траекторий в 3D с помощью сеток и начальных точек. Функции stream3, streamline
  40. Интегрирование 3D системы методом Рунге—Кутты, функция ode45
  41. Визуальное нахождение предельного цикла в 3D
  42. Сечение Пуанкаре
  43. Интерполяционный многочлен Лагранжа
  44. Базисные многочлены Лагранжа
  45. Визуализация базисных многочленов и итогового интерполяционного многочлена
  46. Погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа на равномерной сетке при ошибках в данных
  47. Сетка для интерполяционного многочлена Лагранжа, составленная из корней многочленов Чебышёва
  48. Метод наименьших квадратов — приближение данных заданными функциями
  49. Тип переменных — ячейка (список) cell. Доступ к элементам ячейки
  50. Применение функции к каждому элементу массива с помощью arrayfun (func, A)
  51. Псевдообратная матрица
  52. Деление слева на матрицу a = X \ Y
  53. Интерполяционный многочлен Эрмита
  54. Кубический сплайн дефекта 1 на произвольной сетке
  55. Граничные условия для сплайна: нуль производной, заданное значение производной
  56. Сравнение полученного сплайна с результатом стандартной фукнции Матлаба spline()
  57. Выбор граничного условия в задаче интерполяции кубическими сплайнами. Если граничное условие выбрано некорректно, сплайн построить не удастся
  58. Сходимость сплайна к точному значению функции, если узлы интерполяции определены этой функцией
  59. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка методом пристрелки (стрельбы)
  60. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка с помощью дивергентной схемы (аппроксимации решения)

• Примеры задач

  Задача 1. Мальчик спускается по лестнице из n ступенек. На каждом шагу он может наступить на следующую ступеньку или сразу переступить через одну. Сколько вариантов M(n) спуститься у него имеется? Нужно написать рекуррентную и явную формулы.

  Задача 2. Определите тип всех стационарных (критических) точек функции и постройте (качественно) изолинии этой функции.

  Задача 3. Сформулируйте критерий убывания при численности популяции в модели Лесли при разбиении на m возрастных когорт. Возможно ли временное возрастание численности в такой модели?

  Задача 4. Определите радиус сходимости ряда Тейлора для функции.

  Задача 5. Определите коэффициенты аппроксимации Паде — Эрмита степеней <2,2>, <2,3>, <3,2>, <3,3>.

  Задача 6. Постройте кубический многочлен по следующим данным.

  

  Задача 7. При каком коэффициенте в граничном условии третьего рода =0 на правом краю задача о построении интерполяционного кубического сплайна не имеет единственного решения. Узлы и данные интерполяции предполагаются заданными. На левом краю — условие Дирихле.

• Итоговая аттестация

  Два варианта:

  1. Научный проект
  2. Демонстрационный урок с видеозаписью