МикродигриДепартамент математики

Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений

Квалификация:Специалист в области разработки математических моделей и их аналитического и компьютерного исследования

Язык:Русский

Стоимость:Студенты НИУ ВШЭ – 11 000 руб.

Кампус:Москва

Подать заявкуЗадать вопрос
  • Старт курса

    24.10.2022

  • Формат обучения

    Онлайн

  • Документ

    Сертификат Microdegree

Программа микродигри является надстройкой к майнору «Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений».

Продвинутый математический анализ, интерполяция и аппроксимация, конечно-разностные и дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных), оптимизация, элементы функционального анализа. Разработка алгоритмов и их программная реализация в течение всего курса. Анализ полученных численных результатов. Практические приемы и ноу-хау в области вычислений. Курс трудозатратный и ориентирован на тех, кто собирается в дальнейшем решать задачи такого типа.

Для получения MicroDegree слушателям майнора необходимо выполнить проект.

Цель программы — получить дополнительный опыт самостоятельной научной работы в области вычислительной математики.

Для кого

Программа микродигри является надстройкой к майнору «Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений».

  • Студентам НИУ ВШЭ естественно-научных специальностей, изучившим майнор «Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений» и желающим получить профессиональную квалификацию в области разработки математических моделей и их аналитического и компьютерного исследования

Формат обучения

  • Формат обучения

    Онлайн

  • Язык обучения

    Русский

  • Кампус

    Москва

  • Квалификация

    Специалист в области разработки математических моделей и их аналитического и компьютерного исследования

  • Уровень

    Продвинутый

  • Форма обучения

    Индивидуальная

  • Итоговая работа

    Научный проект

  • Расписание обучения

    4 пары в неделю аудиторных в первом семестре и по 2 пары в остальных

  • Пререквизиты

    Владение курсом майнора «Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений».

  • Условия приема

    Хорошая или отличная отметка за полный курс майнора «Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений»

Программа обучения

  • Дополнительные главы математического анализа

    • Корни многочленов

      Комплексные числа и их свойства. Основная теорема алгебры. Извлечение квадратного корня из вещественных и комплексных чисел итерационным методом Герона. Существование периодических точек и уход решения на бесконечность.

    • Итерационные методы поиска корней и бассейны притяжения

      Метод Ньютона для итерационного решения сложных нелинейных уравнений. Стационарные (неподвижные) точки итерационного процесса бывают устойчивые и неустойчивые. Бассейны притяжения стационарных точек. Сверхсходимость метода Ньютона в окрестности корня уравнения. Устойчивость периодических решений. Случай кратных корней — как ускорить процесс вычислений. Бассейны притяжения для решения квадратного уравнения — что происходит на прямой — границе бассейнов притяжения двух корней. Бассейны притяжения для решения кубического уравнения. Невыполненное обещание Кэли. Фракталы. Бифуркации.

    • Функции нескольких переменных

      Функции нескольких переменных. Матрица Якоби. Экстремумы и стационарные (критические) точки гладких функций нескольких переменных. Матрица Гессе. Для каких функций можно гарантировать ее симметричность. Теорема о неявной функции. Метод Ньютона — Рафсона для численного решения систем нелинейных уравнений.

    • Условные экстремумы

      Условные экстремумы функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа.

    • Стационарные точки и общее положение

      Лемма Морса. Примеры вырожденных стационарных точек. Понятие общего положения системы — что в жизни может случиться, а что — нет. Теорема о трансверсальности.

    • Дифференциальные формы и теорема Стокса

      Векторный анализ. Градиент, дивергенция, ротор. Оператор Лапласа. Дифференциальные формы. Гомотопии и гомологии. Всегда ли безвихревое векторное поле градиентное? Теорема Стокса и ее варианты.

    • Метрические пространства

      Примеры. Ограниченные и сходящиеся последовательности. Замкнутые и открытые множества. Замыкание. Пополнение. Неподвижная точка сжимающего отображения

    • Пространства функций

      Линейные пространства, конечномерные и бесконечномерные. Пространства функций. Нормированные пространства. Гильбертовы пространства. Пространства Соболева.

    • Собственные функции и их приложения

      Базисы в пространстве функций: ряды Фурье и ортогональные полиномы. Собственные функции и собственные числа дифференциальных операторов.

    • Конечно-разностные уравнения и системы

      Динамика численности популяции. Последовательность Фибоначчи. Конечно-разностные уравнения, линейные и нелинейные. Задача Коши. Конечно-разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай кратных корней. Системы конечно-разностных уравнений. Модель Лесли — динамика численности популяции с учетом различий возрастных групп. Когда численность растет на больших временах.

    • Случайные блуждания и игры

      Задача об игре с постоянной суммой (случайные блуждания на сетке). Вероятность выигрыша. Среднее время игры. Зависимость от размера ставки в одном гейме. Игра с возможностью ничьей. Случай инерции проигрыша. Задача блужданий на решетке и уравнение Лапласа. Марковские цепи.

    • Интерполяция и устойчивость к шумам

      Как по значениям функции на дискретной сетке точек восстановить ее значения на всем отрезке — задача интерполяции. Интерполяция Лагранжа. Базис в пространстве многочленов заданной степени. Достоинства и недостатки использования многочлена высокого порядка. Константа Лебега.

    • Сплайны

      Кубические сплайны Шонберга дефекта 1 и изгиб балки под действием точечных нагрузок. Необходимость граничных условий для построения интерполяционного сплайна. Сплайн наилучшего приближения. Метод прогонки для трехдиагональной СЛАУ.

    • Ряды Тейлора и аппроксимация Паде

      Аппроксимация гладкой функции рядом Тейлора. Граница области сходимости ряда Тейлора с центром в нуле для функции. Пример Коши. Аппроксимация Паде — Эрмита гладкой функции и ее преимущества. Всегда ли она возможна. Формула Перрона. Векторное обобщение рациональной аппроксимации.

    • Компактные разностные схемы

      Компактные разностные схемы для приближенного вычисления производных от функций, заданных на дискретной сетке. Метод компактной интерполяции. Компактные разностные схемы на двумерных сетках.

    • Квадратурные формулы

      Квадратурные формулы для приближенного вычисления интегралов от функции на отрезке: прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса. Порядок точности квадратурной формулы.

    • Введение в комплексный анализ

      Уравнения Коши — Римана (Даламбера — Эйлера). Голоморфные функции. Интеграл Коши. Ряд Тейлора и круг его сходимости. Уравнение Лапласа и гармонические функции. Теорема о среднем.

  • Прикладная линейная алгебра и численные методы

    • Псевдообратная матрица и метод наименьших квадратов

      Псевдообратная матрица, ее определения, основные свойства и способы вычисления. Основы метода наименьших квадратов, решение линейной задачи на метод наименьших квадратов с помощью псевдообратной матрицы. Понятие о линейной регрессии, примеры решения практических задач.

    • Полиномиальная интерполяция
    • Матричные разложения
    • Метрики и нормы. Матричные нормы
    • Аппроксимация функций многочленами
    • Элементы теории возмущений
    • Приближение матрицы матрицей малого ранга и идея анализа главных компонент
    • Итеративные методы
    • Неотрицательные матрицы
    • Проблема собственных значений
    • Функции от матриц
    • Алгебраические уравнения и символьные вычисления
  • Математические модели и дифференциальные уравнения

    • Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
    • Операционное исчисление
    • Устойчивость стационарных точек и предельных циклов
    • Модели, основанные на обыкновенных дифференциальных уравнениях и системах
    • Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
    • Уравнения с сингулярностями
    • Краевая задача и задача Штурма — Лиувилля
    • Модели, основанные на уравнениях в частных производных
    • Интегральные преобразования
    • Численные методы для урчп
    • Нелинейные урчп
  • Начала функционального анализа и оптимизация

    • Естественные ортогональные составляющие
    • Компактные конечно-разностные схемы
    • Автомодельные решения уравнений в частных производных
    • Функционалы и операторы
    • Интегральные уравнения Фредгольма
    • Теория обобщенных функций
    • Гладкие функционалы
    • Вторая вариация
    • Принцип наименьшего действия
    • Задачи на условный экстремум
    • Принцип максимума Понтрягина
    • Минимакс
    • Численные методы минимизации функционалов
  • Итоговая аттестация

    Итоговая аттестация участника: успешная сдача экзаменов майнора + научный проект уровня, подтверждающего полученную квалификацию.

  • Подать заявкуЗадать вопрос

Как проходит обучение

  • 4 пары в неделю аудиторных в первом семестре и по 2 пары в остальных. Семинары и лекции 50:50. Онлайн.

  • Рассылка записей занятий, презентаций и других материалов к занятиям.

  • Домашние задания, включая решение задач на компьютере. В библиотеке ВШЭ имеются книги по теме майнора.

  • Консультации по электронной почте.

Преподаватель

  • Гордин Владимир Александрович

    Профессор Департамента математики, доктор физико-математических наук, почетный сотрудник Гидрометеослужбы России

Документ об окончании

Сертификат Microdegree ВШЭ

Документ об окончании
Подать заявкуЗадать вопрос

Стоимость и условия

  • 11 000 рублей

    Для студентов бакалавриата НИУ ВШЭ, изучающих майнор «Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений»

  • Свяжитесь с нами

    Подать заявкуЗадать вопрос

Контактное лицо: Чичик Наталья