Прикладная математика. Искусство и ремесло вычислений

Программа обучения

• Дополнительные главы математического анализа

  • Корни многочленов

    Комплексные числа и их свойства. Основная теорема алгебры. Извлечение квадратного корня из вещественных и комплексных чисел итерационным методом Герона. Существование периодических точек и уход решения на бесконечность.

  • Итерационные методы поиска корней и бассейны притяжения

    Метод Ньютона для итерационного решения сложных нелинейных уравнений. Стационарные (неподвижные) точки итерационного процесса бывают устойчивые и неустойчивые. Бассейны притяжения стационарных точек. Сверхсходимость метода Ньютона в окрестности корня уравнения. Устойчивость периодических решений. Случай кратных корней — как ускорить процесс вычислений. Бассейны притяжения для решения квадратного уравнения — что происходит на прямой — границе бассейнов притяжения двух корней. Бассейны притяжения для решения кубического уравнения. Невыполненное обещание Кэли. Фракталы. Бифуркации.

  • Функции нескольких переменных

    Функции нескольких переменных. Матрица Якоби. Экстремумы и стационарные (критические) точки гладких функций нескольких переменных. Матрица Гессе. Для каких функций можно гарантировать ее симметричность. Теорема о неявной функции. Метод Ньютона — Рафсона для численного решения систем нелинейных уравнений.

  • Условные экстремумы

    Условные экстремумы функций многих переменных. Метод множителей Лагранжа.

  • Стационарные точки и общее положение

    Лемма Морса. Примеры вырожденных стационарных точек. Понятие общего положения системы — что в жизни может случиться, а что — нет. Теорема о трансверсальности.

  • Дифференциальные формы и теорема Стокса

    Векторный анализ. Градиент, дивергенция, ротор. Оператор Лапласа. Дифференциальные формы. Гомотопии и гомологии. Всегда ли безвихревое векторное поле градиентное? Теорема Стокса и ее варианты.

  • Метрические пространства

    Примеры. Ограниченные и сходящиеся последовательности. Замкнутые и открытые множества. Замыкание. Пополнение. Неподвижная точка сжимающего отображения

  • Пространства функций

    Линейные пространства, конечномерные и бесконечномерные. Пространства функций. Нормированные пространства. Гильбертовы пространства. Пространства Соболева.

  • Собственные функции и их приложения

    Базисы в пространстве функций: ряды Фурье и ортогональные полиномы. Собственные функции и собственные числа дифференциальных операторов.

  • Конечно-разностные уравнения и системы

    Динамика численности популяции. Последовательность Фибоначчи. Конечно-разностные уравнения, линейные и нелинейные. Задача Коши. Конечно-разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай кратных корней. Системы конечно-разностных уравнений. Модель Лесли — динамика численности популяции с учетом различий возрастных групп. Когда численность растет на больших временах.

  • Случайные блуждания и игры

    Задача об игре с постоянной суммой (случайные блуждания на сетке). Вероятность выигрыша. Среднее время игры. Зависимость от размера ставки в одном гейме. Игра с возможностью ничьей. Случай инерции проигрыша. Задача блужданий на решетке и уравнение Лапласа. Марковские цепи.

  • Интерполяция и устойчивость к шумам

    Как по значениям функции на дискретной сетке точек восстановить ее значения на всем отрезке — задача интерполяции. Интерполяция Лагранжа. Базис в пространстве многочленов заданной степени. Достоинства и недостатки использования многочлена высокого порядка. Константа Лебега.

  • Сплайны

    Кубические сплайны Шонберга дефекта 1 и изгиб балки под действием точечных нагрузок. Необходимость граничных условий для построения интерполяционного сплайна. Сплайн наилучшего приближения. Метод прогонки для трехдиагональной СЛАУ.

  • Ряды Тейлора и аппроксимация Паде

    Аппроксимация гладкой функции рядом Тейлора. Граница области сходимости ряда Тейлора с центром в нуле для функции. Пример Коши. Аппроксимация Паде — Эрмита гладкой функции и ее преимущества. Всегда ли она возможна. Формула Перрона. Векторное обобщение рациональной аппроксимации.

  • Компактные разностные схемы

    Компактные разностные схемы для приближенного вычисления производных от функций, заданных на дискретной сетке. Метод компактной интерполяции. Компактные разностные схемы на двумерных сетках.

  • Квадратурные формулы

    Квадратурные формулы для приближенного вычисления интегралов от функции на отрезке: прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса. Порядок точности квадратурной формулы.

  • Введение в комплексный анализ

    Уравнения Коши — Римана (Даламбера — Эйлера). Голоморфные функции. Интеграл Коши. Ряд Тейлора и круг его сходимости. Уравнение Лапласа и гармонические функции. Теорема о среднем.

• Прикладная линейная алгебра и численные методы

  • Псевдообратная матрица и метод наименьших квадратов

    Псевдообратная матрица, ее определения, основные свойства и способы вычисления. Основы метода наименьших квадратов, решение линейной задачи на метод наименьших квадратов с помощью псевдообратной матрицы. Понятие о линейной регрессии, примеры решения практических задач.

  • Полиномиальная интерполяция
  • Матричные разложения
  • Метрики и нормы. Матричные нормы
  • Аппроксимация функций многочленами
  • Элементы теории возмущений
  • Приближение матрицы матрицей малого ранга и идея анализа главных компонент
  • Итеративные методы
  • Неотрицательные матрицы
  • Проблема собственных значений
  • Функции от матриц
  • Алгебраические уравнения и символьные вычисления

• Математические модели и дифференциальные уравнения

  • Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
  • Операционное исчисление
  • Устойчивость стационарных точек и предельных циклов
  • Модели, основанные на обыкновенных дифференциальных уравнениях и системах
  • Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
  • Уравнения с сингулярностями
  • Краевая задача и задача Штурма — Лиувилля
  • Модели, основанные на уравнениях в частных производных
  • Интегральные преобразования
  • Численные методы для урчп
  • Нелинейные урчп

• Начала функционального анализа и оптимизация

  • Естественные ортогональные составляющие
  • Компактные конечно-разностные схемы
  • Автомодельные решения уравнений в частных производных
  • Функционалы и операторы
  • Интегральные уравнения Фредгольма
  • Теория обобщенных функций
  • Гладкие функционалы
  • Вторая вариация
  • Принцип наименьшего действия
  • Задачи на условный экстремум
  • Принцип максимума Понтрягина
  • Минимакс
  • Численные методы минимизации функционалов

• Итоговая аттестация

  Итоговая аттестация участника: успешная сдача экзаменов майнора + научный проект уровня, подтверждающего полученную квалификацию.