Исследование многомерного интегрального уравнения, возникающего в модели стационарных сообществ

Данная работа посвящена изучению пространственной биологической модели, разработанной австрийским учёным Ульфом Дикманом. В рамках указанной модели состояние экологического сообщества в любой момент времени может быть описано с помощью двух функций: средней плотности популяции (первый момент системы) и плотности парных корреляций между особями (второй момент системы). Однако наибольший интерес представляет отыскание метастабильного состояния системы как решения стационарного интегрального уравнения, описывающего взаимосвязь между вторым моментом системы и параметрами, характеризующими популяцию: коэффициентами рождаемости, смертности, а также плотностями распределений особей в пространстве, называемыми ядрами. Цель настоящего исследования состоит в изучении зависимости стационарного состояния системы от коэффициентов эксцесса распределения ядер, что является возможным благодаря выбранном распределению ядер, а именно – распределению Стьюдента, имеющему переменный коэффициент эксцесса. Для достижения поставленной цели в ходе исследования решались следующие задачи: вывести и решить интегральные уравнения для каждого из рассматриваемых замыканий моментов, выбрав при этом наиболее эффективный численный метод; установить зависимость между моментами системы и с её помощью вычислить равновесный первый момент на основе второго; теоретически обосновать наличие решений интегральных уравнений при выбранном распределении ядер. Для решения интегральных уравнений были выбраны и запрограммированы на языке MATLAB следующие численные методы: метод рядов Неймана и метод Нистрёма. Выбор обусловлен тем, что предыдущими исследователями в этой области было показано, что указанные численные методы являются наиболее эффективными при решении подобных задач. Таким образом, наиболее важным результатом работы может послужить реализация программного продукта, позволяющего численно решить интегральные уравнения, возникающие в пространственной модели Ульфа Дикмана.