Действие группы кос на полуортогональных базисах решёток Мукаи

Полуортогональные базисы и их перестройки возникают при изучении векторных расслоений на проективных пространствах и других многообразиях. Существует гипотеза: группа кос вместе с группой изометрий билинейной формы, а также группой, действующей сменой знаков в векторах, транзитивно действуют на множестве исключительных базисов решётки Мукаи неразложимого типа $U_n$. Гипотеза доказана для n=3 с помощью уравнения Маркова и для n=4 Д. Ногиным при помощи похожих уравнений "марковского типа'' В настоящей работе сначала даются определения решётки Мукаи и нескольких вспомогательных понятий, в частности, спирали. Затем устанавливаются значимые связи между этими понятиями, и доказывается теорема о нормальной форме канонического оператора, позволяющая классифицировать некоторые решётки с точностью до изоморфизма. С помощью этих утверждений мы исчерпывающе исследуем действие группы кос на исключительных базисах неразложимой решётки ранга 3, устанавливаем дополнительное соотношение и доказываем, что профакторизованное по нему действие транзитивно (утверждение гипотезы для n=3) и свободно с некоторыми оговорками.