О семействах квартик и рациональных кривых на факторе квартики по инволюции

Задача является ли алгебраическое многообразие рациональным или нет, это одна из центральных задач в алгебраической геометрии. В 1876 году, Люрот показал, что любая унирациональная кривая рациональна. Далее возник вопрос об обобщении данного результата на размерность 2 и выше. В 1896, Гвидо Кастельнуово показал, что любая унирациональная комплексная поверность рациональна. Давно известно, что кубическое тело унирационально. Однако, в 1972 Клементс и Гриффитс показали, используя промежуточные якобианы, что общее гладкое кубическое тело не рационально. Это был первый контрпример к обобщенной на произвольную размерность проблеме Люрота. В 1971 было показано, что любое гладкая комплексная квартика размерности 3 тоже не рациональна. Это был результат Исковских и Манина. В нашей работе мы попытаемся изучить рациональную геометрию факторов комплексных квартик размероности 3 по инволюции. Всего есть два типа действий инволюции на $\PP^4$. Для первого типа мы докажем, что широкое семейство таких факторов комплексных квартик размероности 3 изоморфно двухслойным накрытиям $\PP^3$, разветвленным в квартической поверхности. И напомним результаты о рациональной геометрии таких объектов. Во второй части мы опишем доказательство Гриффитса описания когомологий гиперповерхностей в проективном пространстве. После этого, мы покажем применения данной теории к исследованию геометрии факторов комплексных квартик размероности 3 по второму типу инволюций.